[论文解读] Discrete time approximation of coalescing stochastic flows on the real line

Iryna Nishchenko|arXiv (Cornell University)|May 19, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文通过使用独立平稳高斯过程作为扰动，构建了实直线上共alescing随机流（特别是Arratia流）的离散时间近似。通过控制协方差函数的光滑性与时间步长，作者建立了近似过程弱收敛于Arratia流的结果，为具有共alescing特性的奇异随机流提供了数值框架。

ABSTRACT

In this paper we have constructed an approximation for the Harris flow and the Arratia flow using a sequence of independent stationary Gaussian processes as a perturbation. We have established what should be the relationship between the step of approximation and smoothness of the covariance of the perturbing processes in order to have convergence of the approximating functions to the Arratia flow.

研究动机与目标

• 开发适用于共alescing随机流（特别是Harris流与Arratia流）的离散时间近似方案，这些流并非由带高斯白噪声的标准SDE生成。
• 理解扰动过程中协方差函数奇异性在实现轨迹共alescing中的结构性作用。
• 建立离散近似在Skorokhod或Lévy–Prokhorov拓扑下弱收敛于真实流的条件。
• 弥合标准SDE数值近似方法与具有路径共alescing特性的更复杂奇异随机流动力学之间的差距。

提出的方法

• 通过递推式 $ x_{n+1}(u) = x_n(u) + \xi_{n+1}(x_n(u)) $ 定义离散时间随机过程，其中 $ \xi_n $ 为具有协方差 $ \Gamma $ 的独立平稳高斯过程。
• 利用不变原理与矩估计分析离散过程的一点运动与两点运动。
• 将扰动过程的协方差归一化为 $ \Gamma_{\varepsilon_n}(u) = \frac{1}{\varepsilon_n} \int \psi_{\varepsilon_n}(p)\psi_{\varepsilon_n}(u+p)\,dp $，其中 $ \psi \in C^\infty_0 $，以控制光滑性。
• 建立离散近似与带光滑噪声SDE解之间差值的 $ L^2 $-估计。
• 应用Lévy–Prokhorov距离与Skorokhod距离，证明离散过程弱收敛于Arratia流。
• 利用离散过程与带光滑噪声SDE解同分布的事实，实现收敛结果的转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扰动高斯过程的协方差函数满足何种条件下，离散近似会收敛于Arratia流？
• RQ2 时间步长与协方差函数光滑性之间的相互作用如何影响极限状态下轨迹的共alescing行为？
• RQ3 共alescing流的离散近似方案能否基于与标准SDE（光滑系数）相同的原理加以证明？
• RQ4 选择的光滑化协方差函数 $ \Gamma_{\varepsilon_n} $ 在多大程度上影响收敛速度与极限流的拓扑结构？
• RQ5 在 $ \varepsilon_n $ 与 $ n $ 的适当缩放下，离散近似是否在 $ D([0,1]) $ 中弱收敛于Arratia流？

主要发现

• 当协方差 $ \Gamma $ 为 $ C^2 $ 且有界时，通过 $ x_{n+1}(u) = x_n(u) + \frac{1}{\sqrt{m}} \xi_n(x_n(u)) $ 构建的离散近似 $ x_n^{m} $ 在 $ C([0,1]) $ 中弱收敛于带光滑噪声SDE的解。
• 对于 $ m $-点运动，归一化过程 $ \widetilde{x}_n(u,t) $ 在 $ C([0,1], \mathbb{R}^l) $ 中弱收敛于具有局部特征 $ \Gamma $ 的Harris流的 $ l $-点运动，条件为 $ \Gamma \in C^2 $ 且协方差按 $ \frac{1\sqrt{n}} \Gamma $ 缩放。
• 对光滑化SDE解 $ z_{\varepsilon_n} $ 的近似误差满足 $ E\| \widetilde{x}_n - z_{\varepsilon_n}(\cdot,1) \| \leq \frac{C'}{\sqrt{n}} \exp\{ (C''L^2_{\varepsilon_n} + C'''L^4_{\varepsilon_n}) e^{4L^2_{\varepsilon_n}} + L^2_{\varepsilon_n} \} (L^2_{\varepsilon_n} + 1) $，其中 $ L^2_{\varepsilon_n} = \frac{1}{\varepsilon_n} \int \psi'(p)^2 dp $。
• 在条件 $ \frac{1}{\varepsilon_n^2} = o(\ln \ln n) $ 下，离散过程 $ x_n^n $ 在 $ D([0,1]) $ 中弱收敛于Arratia流 $ x(\cdot,1) $。
• 收敛性通过与光滑化SDE解的等分布性及Lévy–Prokhorov距离的应用得以建立，这表明在极限分布的连续点处实现收敛。