[论文解读] Discrete time approximation of decoupled Forward-Backward SDE driven by pure jump Lévy-processes

Soufiane Aazizi|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出了一种两步法离散时间数值格式，用于求解由无限活动纯跳 Lévy 过程驱动的解耦前向-后向随机微分方程（FBSDEs）。首先，通过方差匹配方法将小跳跃近似为布朗运动；其次，对得到的含布朗运动与泊松组件的 FBSDE 应用一种欧拉型格式。关键结果是：当时间步长趋于零时，该数值格式收敛于真实解，且误差界受小跳跃方差与时间离散化控制。

ABSTRACT

We present a new algorithms to discretize a decoupled forward backward stochastic differential equations driven by pure jump Lévy process (FBSDEL in short). The method is built in two steps. Firstly, we approximate the FBSDEL by a forward backward stochastic differential equations driven by a Brownian motion and Poisson process (FBSDEBP in short), in which we replace the small jumps by a Brownian motion. Then, we prove the convergence of the approximation when the size of small jumps $\eps$ goes to 0. In the second step, we obtain the $L^p$ Hölder continuity of the solution of FBSDEBP and we construct two numerical schemes for this FBSDEBP. Based on the $L^p$ Hölder estimate, we prove the convergence of the scheme when the number of time steps $n$ goes to infinity. Combining these two steps leads to prove the convergence of numerical schemes to the solution of FBSDEL.

研究动机与目标

• 开发一种用于由无限活动纯跳 Lévy 过程（即 ν(R) = ∞）驱动的解耦前向-后向 SDE 的数值格式。
• 解决在无限活动跳跃情形下缺乏高效数值方法的问题，特别是当小跳跃无法被截断时。
• 通过结合小跳跃近似与离散时间欧拉型离散化，建立数值格式的收敛性。
• 为近似后的 FBSDE 推导 Lp-Hölder 连续性估计，以确保在时间离散化下的误差控制。

提出的方法

• 通过用一个由 σ(ε) = (∫|e|≤ε e² ν(de))¹ᐟ² 缩放的布朗运动替代原始 FBSDE 中的小跳跃（|e| ≤ ε），对具有纯跳 Lévy 过程的 FBSDE 进行近似。
• 证明当 ε → 0 时，近似 FBSDE 的解收敛于原始解，且误差受 σ(ε)² 控制。
• 建立近似 FBSDE 解关于时间与状态变量的 Lp-Hölder 连续性，从而实现对离散化误差的控制。
• 基于规则时间网格与后向分量的条件期望，为近似 FBSDE 构造一种欧拉型离散时间格式。
• 利用马利亚文（Malliavin）微积分与先验估计控制解的导数，确保格式的稳定性。
• 结合两步：证明当时间步长 |π| → 0 时，整体数值格式收敛于真实解，且误差率依赖于 |π|¹⁻¹/log(1/|π|) 与 σ(ε)²。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由无限活动纯跳 Lévy 过程驱动的解耦 FBSDE 构造一种离散时间数值格式？
• RQ2 当跳跃大小 ε → 0 时，用布朗运动近似小跳跃是否能一致地逼近原始 FBSDE？
• RQ3 应用于含布朗运动与泊松组件的近似 FBSDE 的欧拉型格式的收敛速率如何？
• RQ4 如何建立解的 Lp-Hölder 连续性以控制离散化误差？
• RQ5 结合小跳跃近似与时间离散化的两步格式的整体收敛速率是什么？

主要发现

• 原始 FBSDE 解与小跳跃近似之间的误差受 σ(ε)² 控制，证明了当 ε → 0 时的收敛性。
• 建立了近似 FBSDE 解的 Lp-Hölder 连续性，从而实现了对时间离散化误差的控制。
• 近似 FBSDE 的欧拉型格式在时间步长 |π| → 0 时收敛于解，且误差受 C(|π|¹⁻¹/log(1/|π|) + σ(ε)²) 控制。
• 该格式在 L² 意义下对前向与后向分量均实现收敛，且显式误差界包含小跳跃方差与时间网格细化的影响。
• 推导了解的马利亚文导数的先验估计，确保了格式的有界性与稳定性。
• 在系数满足标准 Lipschitz 与可积性条件下，收敛结果成立，且显式依赖于跳跃强度测度 ν。