[论文解读] Discrete time optimal control with frequency constraints for non-smooth systems

Shruti Kotpalliwar, Pradyumna Paruchuri+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文为具有状态和控制约束、轨迹频率约束以及非光滑动力学的离散时间最优控制问题建立了离散时间庞特里亚金最大值原理。它提出了一套一阶必要条件框架，可处理非可微系统与频域限制，实现了惯性执行器和柔性结构的高保真、计算可处理的运动规划。

ABSTRACT

We present a Pontryagin maximum principle for discrete time optimal control problems with (a) pointwise constraints on the control actions and the states, (b) frequency constraints on the control and the state trajectories, and (c) nonsmooth dynamical systems. Pointwise constraints on the states and the control actions represent desired and/or physical limitations on the states and the control values; such constraints are important and are widely present in the optimal control literature. Constraints of the type (b), while less standard in the literature, effectively serve the purpose of describing important spectral properties of inertial actuators and systems. The conjunction of constraints of the type (a) and (b) is a relatively new phenomenon in optimal control but are important for the synthesis control trajectories with a high degree of fidelity. The maximum principle established here provides first order necessary conditions for optimality that serve as a starting point for the synthesis of control trajectories corresponding to a large class of constrained motion planning problems that have high accuracy in a computationally tractable fashion. Moreover, the ability to handle a reasonably large class of nonsmooth dynamical systems that arise in practice ensures broad applicability our theory, and we include several illustrations of our results on standard problems.

研究动机与目标

• 为具有混合约束的离散时间最优控制问题，发展一阶最优性必要条件。
• 将控制与状态轨迹的频率约束纳入框架，这对惯性执行器和振动控制至关重要。
• 将庞特里亚金最大值原理扩展至实际工程应用中出现的非光滑动力系统。
• 在保持物理与性能约束的前提下，确保控制轨迹合成的计算可处理性与高保真度。
• 通过统一的理论框架，同时处理点态约束、频率约束与非光滑约束，弥合现有文献的空白。

提出的方法

• 在混合约束下推导离散时间庞特里亚金最大值原理：包括状态与控制的点态边界约束，以及频域约束。
• 利用广义梯度与凸分析处理非光滑动力学，特别是在系统行为发生突变的切换面上。
• 应用集值伴随方程与包含条件的哈密顿函数最大化，以建模不可微动力学。
• 引入涉及非光滑法锥与互补松弛性的横截条件，用于不等式约束。
• 采用非光滑优化理论，包括克拉克广义梯度与凸锥理论，推导必要条件。
• 在具有分段动力学与频率约束控制的非线性电力电子电路模型上验证该框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在同时存在点态约束与频率约束的离散时间最优控制问题中，推导一阶最优性必要条件？
• RQ2 为处理具有切换行为的非光滑动力系统，对经典庞特里亚金最大值原理需进行哪些修改？
• RQ3 如何在离散时间最优控制框架中，数学编码并强制执行对控制与状态轨迹的频率约束？
• RQ4 广义梯度与集值伴随方程在表征不可微系统最优轨迹中起什么作用？
• RQ5 所提出的框架能否实现计算可处理、高保真的控制综合，适用于具有物理执行器限制与振动约束的系统？

主要发现

• 本文建立的离散时间庞特里亚金最大值原理，整合了点态状态与控制约束、对两条轨迹的频率约束，以及非光滑动力学。
• 必要条件涉及集值伴随方程与带包含约束的哈密顿函数最大化，尤其在系统动力学不可微的切换面上表现显著。
• 在非线性电力电子电路的实例中，最优控制轨迹满足根据电流是否低于或高于电压的阈值函数而切换的两种不同形式的状态与伴随动态。
• 横截条件包含非光滑法锥项与互补松弛性，确保与边界条件及约束资格的一致性。
• 当控制位于光滑区域时，哈密顿函数最大化条件退化为经典等式形式；但当控制位于不可微边界时，条件转化为集合包含形式。
• 该框架实现了对具有惯性执行器与柔性结构系统的精确控制综合，避免了滤波引起的信号失真，提升了性能保真度。