[论文解读] Discrete time quantum walk model for single and entangled particles to retain entanglement in coin space

C. M. Chandrashekar|ArXiv.org|Sep 15, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种离散时间量子行走模型，通过引入一个带有额外自由度的改进幺正移位算符 $U^\prime$，在量子位移过程中保持了量子位寄存空间的纠缠，从而消除了对重复 Hadamard 操作的需求。对于纠缠粒子对，该模型确保在经过 $N$ 步后，粒子以 50% 的概率被共同找到，以 50% 的概率被分别找到，从而将所需实验运行次数减少了 1/3。

ABSTRACT

In most widely discussed discrete time quantum walk model, after every unitary shift operator, the particle evolves into the superposition of position space and settles down in one of its basis states, loosing entanglement in the coin space in the new position. The Hadamard operation is applied to let the particle to evolve into the superposition in the coin space and the walk is iterated. We present a model with a additional degree of freedom for the unitary shift operator $U^{\prime}$. The unitary operator with additional degree of freedom will evolve the quantum particle into superposition of position space retaining the entanglement in coin space. This eliminates the need for quantum coin toss (Hadamard operation) after every unitary displacement operation as used in most widely studied version of the discrete time quantum walk model. This construction is easily extended to a multiple particle quantum walk and in this article we extend it for a pair of particles in pure state entangled in coin degree of freedom by simultaneously subjecting it to a pair of unitary displacement operators which were constructed for single particle. We point out that unlike for single particle quantum walk, upon measurement of its position after $N$ steps, the entangled particles are found together with 1/2 probability and at different positions with 1/2 probability. This can act as an advantage in applications of the quantum walk. A special case is also treated using a complex physical system such as, inter species two-particle entangled Bose-Einstein condensate, as an example.

研究动机与目标

• 解决标准离散时间量子行走中每次幺正移位后量子位空间纠缠丢失的问题。
• 消除标准模型中每次位移后重复进行 Hadamard 操作（量子硬币抛掷）的需求。
• 将该模型扩展至双粒子纠缠体系，同时在演化过程中保持量子位空间的纠缠。
• 展示该模型可减少确认纠缠行走者体系中量子行为所需的实验运行次数。
• 提供一种物理上可实现的框架，适用于如异种双粒子玻色-爱因斯坦凝聚体等系统。

提出的方法

• 引入一个带有额外自由度的改进幺正移位算符 $U^\prime$，以在量子位空间中保持叠加态与纠缠。
• 定义 $U^\prime$，使其在使粒子进入位置叠加态的同时，维持量子位态中的纠缠。
• 通过张量积 $U^\prime_{12} = U_1 \otimes U_2$ 将单粒子 $U^\prime$ 扩展至双粒子体系，实现纠缠粒子的同时演化。
• 为物理系统构造 $U_1$ 和 $U_2$ 的显式形式，例如超冷原子中的激光诱导受激拉曼跃迁。
• 采用特定初始态 $|\psi_0\rangle_{BEC} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0,x_0\rangle_1|1,x_0\rangle_2 + i|1,x_0\rangle_1|0,x_0\rangle_2)_{BEC}$ 表示异种纠缠玻色-爱因斯坦凝聚体。
• 通过模拟 20 步和 100 步的概率分布，可视化行走动力学与纠缠保持特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种离散时间量子行走，使得在每次幺正移位后，量子位空间的纠缠得以保持，而无需进行 Hadamard 操作？
• RQ2 双粒子纠缠量子行走的行为与单粒子情况相比，在测量统计上有哪些不同？
• RQ3 在行走经过 $N$ 步后，找到纠缠粒子处于同一位置或不同位置的概率分布是什么？
• RQ4 该模型是否可在如异种双粒子纠缠玻色-爱因斯坦凝聚体等复杂系统中实现？
• RQ5 若省去重复的 Hadamard 操作，是否可减少确认量子行为所需的实验运行次数？

主要发现

• 改进的幺正算符 $U^\prime$ 在每次位移后均能保持量子位空间的纠缠，从而消除了对重复 Hadamard 操作的需求。
• 对于一对纠缠粒子，经过 $N$ 步测量后，有 50% 的概率发现两粒子位于相同位置，50% 的概率发现它们位于不同位置。
• 这种 50% 的分离探测概率使确认量子行为所需的实验运行次数相比标准模型减少了约 1/3。
• 该模型可通过超冷原子中激光诱导的受激拉曼跃迁实现，且已为该类系统推导出明确的幺正算符。
• 20 步和 100 步的模拟结果显示，概率分布中存在一个缓慢移动的峰值，且概率高度集中，表明系统具有鲁棒性与相干性保持能力。
• 在异种双粒子纠缠玻色-爱因斯坦凝聚体的特殊情况下，每一步后显著幅度仍局域在原点，且该幅度随时间逐渐减小。