[论文解读] Discrete-Time Statistical Inference for Multiscale Diffusions in the Averaging and Homogenization Regime

Siragan Gailus, Konstantinos Spiliopoulos|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 1

一句话总结

本文针对仅观测到慢分量的单条路径，发展了多尺度扩散过程的统计推断方法。基于慢过程的二阶泰勒近似，提出了最小对比估计量（MCE 和 SMCE），在平均化与均质化两种情形下，即使在尺度分离约束下的高频观测条件下，也建立了 MCE 的一致性、渐近正态性和效率性。

ABSTRACT

We study statistical inference for small-noise-perturbed multiscale dynamical systems under the assumption that we observe a single time series from the slow process only. We construct estimators for both averaging and homogenization regimes, based on an appropriate misspecified model motivated by a second-order stochastic Taylor expansion of the slow process with respect to a function of the time-scale separation parameter. In the case of a fixed number of observations, we establish consistency, asymptotic normality, and asymptotic statistical efficiency of a minimum contrast estimator (MCE), the limiting variance having been identified explicitly; we furthermore establish consistency and asymptotic normality of a simplified minimum constrast estimator (SMCE), which is however not in general efficient. These results are then extended to the case of high-frequency observations under a condition restricting the rate at which the number of observations may grow vis-a-vis the separation of scales. Numerical simulations illustrate the theoretical results.

研究动机与目标

• 开发仅观测到慢分量时多尺度扩散过程的统计推断方法。
• 解决在小噪声和多重时间尺度下参数估计的挑战。
• 构建在平均化与均质化两种情形下均具有一致性和渐近效率的估计量。
• 在时间尺度分离的控制下，将理论结果扩展至高频观测设置，其中观测次数的增长速率受尺度分离的约束。
• 通过数值模拟验证理论发现。

提出的方法

• 基于时间尺度分离参数的慢过程的二阶随机泰勒展开，推导出一个被误设的模型。
• 基于该误设模型的近似似然函数，构造最小对比估计量（MCE）。
• 引入简化最小对比估计量（SMCE），作为计算效率更高、复杂度更低的替代方案。
• 在固定频率与高频观测两种情形下推导渐近性质，并对观测次数相对于尺度分离的增长率施加条件。
• 明确识别出 MCE 的极限方差，从而实现对统计效率的评估。
• 通过数值模拟验证估计量的理论性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅观测到慢分量时，能否构建出一致且高效的参数估计量？
• RQ2 MCE 与 SMCE 的渐近性质如何依赖于时间尺度分离程度与观测频率？
• RQ3 MCE 的极限方差是什么？其在平均化与均质化两种情形下是否达到统计效率？
• RQ4 在尺度分离条件下，高频观测次数的增长速率如何影响估计量的渐近正态性？
• RQ5 慢过程的二阶泰勒近似在小噪声条件下，能在多大程度上实现准确推断？

主要发现

• 最小对比估计量（MCE）在平均化与均质化两种情形下均具有一致性和渐近正态性。
• MCE 达到了渐近统计效率，其极限方差被明确识别。
• 简化最小对比估计量（SMCE）具有一致性和渐近正态性，但通常不具效率性。
• 在观测次数增长速率受时间尺度分离控制的高频观测设置下，两种估计量的渐近正态性均得以建立。
• 通过数值模拟验证了理论结果，展示了估计量在有限样本下的性能。
• 二阶随机泰勒展开为小噪声条件下多尺度扩散过程的推断提供了一个有效的近似框架。