[论文解读] Discrete transparent boundary conditions for the linearized Green-Naghdi system of equations

Maria Kazakova, Pascal Noble|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2017

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文通过在交错网格和重叠网格上使用Crank-Nicolson时间离散化，推导了线性化Green-Naghdi方程的离散透明边界条件。通过求逆Z变换实现对离散系统的精确处理，可在交错网格上实现显式逆变换，在重叠网格上则采用稳定的数值逆变换，从而实现准确的非反射波注入与吸收。该方法通过高斯脉冲和波包初始数据的数值验证，结果表现良好。

ABSTRACT

In this paper, we introduce artificial boundary conditions for the linearized Green-Naghdi system of equations. The derivation of such continuous (respectively discrete) boundary conditions include the inversion of Laplace transform (respectively Z-transform) and these boundary conditions are in turn non local in time. In the case of continuous boundary conditions, the inversion is done explicitly. We consider two spatial discretisations of the initial system either on a staggered grid or on a collocated grids, both of interest from the practical point of view. We use a Crank Nicolson time discretization. The proposed numerical scheme with the staggered grid permits explicit Z-transform inversion whereas the collocated grid discretization do not. A stable numerical procedure is proposed for this latter inversion. We test numerically the accuracy of the described method with standard Gaussian initial data and wave packet initial data which are more convenient to explore the dispersive properties of the initial set of equations. We used our transparent boundary conditions to solve numerically the problem of injecting propagating (planar) waves in a computational domain.

研究动机与目标

• 为线性化Green-Naghdi系统开发精确的透明边界条件，以实现在有限区域内的准确波传播模拟。
• 通过Z变换求逆，将连续透明边界条件推广至离散设置，适用于Crank-Nicolson时间离散化。
• 确保在交错网格和重叠网格上数值格式的稳定性和准确性。
• 通过高斯脉冲和波包初始数据的数值验证，评估色散波行为。
• 展示该方法在无反射条件下有效注入平面波并吸收出射波的能力。

提出的方法

• 通过拉普拉斯变换求逆推导连续透明边界条件，随后将该方法推广至离散系统，采用Z变换求逆。
• 对线性化Green-Naghdi方程在交错网格和重叠网格上应用Crank-Nicolson时间离散化。
• 对于交错网格，显式求逆Z变换以获得显式边界条件。
• 对于重叠网格，由于无法实现显式求逆，开发了一种稳定的数值求逆程序。
• 通过将解分解为入射波与紧支撑扰动项，推导边界条件的源项。
• 通过在域边界处匹配离散波动力学，实现边界条件对非反射行为的强制满足。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Z变换求逆，为线性化Green-Naghdi系统推导离散透明边界条件？
• RQ2 在交错网格与重叠网格离散化下，此类边界条件在实现方式与稳定性方面有何差异？
• RQ3 所提出的方法能否在数值模拟中无反射地准确注入与吸收平面波？
• RQ4 相速度与群速度在数值结果中如何表现？是否与理论预期一致？
• RQ5 波数与色散参数对瞬态与稳态波传播有何影响？

主要发现

• 该方法成功通过Z变换求逆生成了对出射波与入射波均有效的非反射边界条件。
• 交错网格可实现Z变换的显式求逆，而重叠网格则需依赖稳定的数值求逆程序。
• 数值结果表明，即使在瞬态阶段，对高斯脉冲和波包初始数据的波传播也表现出极低反射，精度良好。
• 相速度与群速度被正确捕捉，群速度小于相速度，符合色散系统预期。
• 当波数p=4和p=8，且ε=10⁻³时，波解在经历瞬态阶段后趋于稳定传播状态，验证了方法的稳定性和准确性。
• 该方法保持了与全空间精确解一致的能量行为，避免了因截断计算域导致的人工能量损失。