[论文解读] Discrete variational principles and Hamilton-Jacobi theory for mechanical systems and optimal control problems

Vincent Guibout, Anthony M. Bloch|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2004

Numerical methods for differential equations参考文献 32被引用 10

一句话总结

本文提出了一种在切丛与余切丛上离散变分原理的几何框架，实现了机械系统与最优控制问题的辛积分，并建立了离散哈密顿-雅可比理论与离散最大值原理。证明了能量误差在离散典范变换下保持不变，通过将时间视为广义坐标的形式，导出了保持辛结构与能量守恒的算法。

ABSTRACT

In this paper we present a general framework that allows one to study discretization of certain dynamical systems. This generalizes earlier work on discretization of Lagrangian and Hamiltonian systems on tangent bundles and cotangent bundles respectively. In particular we show how to obtain a large class of discrete algorithms using this geometric approach. We give new geometric insight into the Newmark model for example and we give a direct discrete formulation of the Hamilton-Jacobi method. Moreover we extend these ideas to deriving a discrete version of the maximum principle for smooth optimal control problems. We define discrete variational principles that are the discrete counterpart of known variational principles. For dynamical systems, we introduce principles of critical action on both the tangent bundle and the cotangent bundle. These two principles are equivalent and allow one to recover most of the classical symplectic algorithms. We also identify a class of coordinate transformations that leave the variational principles presented in this paper invariant and develop a discrete Hamilton-Jacobi theory. This theory allows us to show that the energy error in the (symplectic) integration of a dynamical system is invariant under discrete canonical transformations. Finally, for optimal control problems we develop a discrete maximum principle that yields discrete necessary conditions for optimality. These conditions are in agreement with the usual conditions obtained from Pontryagin maximum principle. We illustrate our approach with an example of a sub-Riemannian optimal control.

研究动机与目标

• 开发一种统一的几何框架，通过在切丛与余切丛上使用变分原理，对机械系统与最优控制问题进行离散化。
• 将离散变分积分器扩展至保持辛结构与能量守恒，特别是通过将时间视为广义坐标。
• 建立揭示离散典范变换下能量误差不变性的离散哈密顿-雅可比理论。
• 推导出与经典庞特里亚金最大值原理一致的离散最大值原理。
• 为构建辛-能量守恒积分器与复杂系统的多辛算法提供理论基础。

提出的方法

• 在切丛上（离散哈密顿原理）与余切丛上（离散修正哈密顿原理）制定离散变分原理，确保等价性并恢复经典辛格式。
• 引入时间离散化的作用量原理，结合边界条件以施加物理约束，并支持最优控制的公式化。
• 将时间视为广义坐标，通过在扩展相空间中嵌入系统，推导出保持能量守恒的辛积分器。
• 定义保持变分原理的离散典范变换，并利用其分析辛积分中能量误差的不变性。
• 构造离散增广代价函数，通过作用量的变分推导最优性必要条件，进而导出离散最大值原理。
• 将该框架应用于一个子黎曼最优控制问题，验证其与庞特里亚金条件的一致性以及所得算法的辛结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将离散变分原理推广，以在几何框架下统一辛积分与最优控制？
• RQ2 时间作为广义坐标在辛积分器中实现能量守恒方面起到何种作用？
• RQ3 离散哈密顿-雅可比理论如何与离散典范变换下的能量误差不变性相关联？
• RQ4 能否推导出与经典庞特里亚金最大值原理一致且能生成辛算法的离散最大值原理？
• RQ5 哪一类坐标变换保持离散变分原理？这对所得积分器的结构有何影响？

主要发现

• 在切丛与余切丛上的离散变分原理是等价的，并能恢复大多数经典辛积分器，包括基于生成函数与龙格-库塔方法的格式。
• 通过将时间视为广义坐标，该框架支持构造保持辛与能量守恒的算法，确保离散系统中能量的守恒。
• 在辛积分中，能量误差在离散典范变换下保持不变，这一关键结果通过离散哈密顿-雅可比理论得以确立。
• 离散最大值原理导出的最优性必要条件与经典庞特里亚金最大值原理一致，验证了该方法在最优控制问题中的有效性。
• 即使在非平凡离散化下，该方法仍可导出辛算法，尽管此时其与连续情形的等价性可能不再成立。
• 该方法在子黎曼最优控制问题上得到验证，所得算法既保持辛结构，又与最优性的必要条件一致。