[论文解读] Discrete Wasserstein Barycenters: Optimal Transport for Discrete Data

Ethan Anderes, Steffen Borgwardt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文建立了离散设置下Wasserstein中位数的理论基础，其中输入概率测度具有有限支撑。研究证明，离散中位数始终是离散且稀疏的，其最优传输方案从不发生质量分裂——与一般离散传输不同——从而可通过线性规划实现高效计算，并为物流和数据分析应用提供强有力的稀疏性约束。

ABSTRACT

Wasserstein barycenters correspond to optimal solutions of transportation problems for several marginals, and as such have a wide range of applications ranging from economics to statistics and computer science. When the marginal probability measures are absolutely continuous (or vanish on small sets) the theory of Wasserstein barycenters is well-developed (see the seminal paper [1]). However, exact continuous computation of Wasserstein barycenters in this setting is tractable in only a small number of specialized cases. Moreover, in many applications data is given as a set of probability measures with finite support. In this paper, we develop theoretical results for Wasserstein barycenters in this discrete setting. Our results rely heavily on polyhedral theory which is possible due to the discrete structure of the marginals. Our results closely mirror those in the continuous case with a few exceptions. In this discrete setting we establish that Wasserstein barycenters must also be discrete measures and there is always a barycenter which is provably sparse. Moreover, for each Wasserstein barycenter there exists a non-mass-splitting optimal transport to each of the discrete marginals. Such non-mass-splitting transports do not generally exist between two discrete measures unless special mass balance conditions hold. This makes Wasserstein barycenters in this discrete setting special in this regard. We illustrate the results of our discrete barycenter theory with a proof-of-concept computation for a hypothetical transportation problem with multiple marginals: distributing a fixed set of goods when the demand can take on different distributional shapes characterized by the discrete marginal distributions. A Wasserstein barycenter, in this case, represents an optimal distribution of inventory facilities which minimize the squared distance/transportation cost totaled over all demands.

研究动机与目标

• 为输入概率测度在有限支撑下为离散的情形，建立Wasserstein中位数的严谨理论框架。
• 填补现有理论的空白，即主要关注绝对连续测度，而本文建立适用于现实世界离散数据的结果。
• 证明离散中位数必然为离散且稀疏，且其支撑集大小存在紧致上界。
• 展示从中位数到每个边缘分布均存在不发生质量分裂的最优传输映射，这一性质在一般离散测度中并不成立。
• 通过基于多面体理论的有限维线性规划形式化，实现中位数的实用计算。

提出的方法

• 利用多面体理论分析离散Wasserstein中位数的结构，利用输入测度的有限支撑特性。
• 使用一个有限覆盖集 S 作为中位数候选支撑点集合，该集合由质量重分配的组合约束导出。
• 将中位数计算建模为线性规划（LP），其中变量表示中位数与每个边缘分布之间的联合传输方案。
• 应用多边缘最优传输问题的对偶形式，推导出稀疏性与结构保证。
• 采用JuMP建模语言与COIN-OR Clp求解器，实现中位数的高效实际计算。
• 利用组合恒等式（如“星与条”法）推导中位数中非零支撑点的最大数量上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当所有输入测度均为具有有限支撑的离散测度时，Wasserstein中位数能否被严格刻画？
• RQ2 对于离散中位数，可保证哪些结构性质——如稀疏性与支撑集大小？
• RQ3 在何种条件下，从中位数到每个边缘分布的最优传输方案可避免质量分裂？
• RQ4 在理论结构已知的前提下，如何在实践中高效计算离散中位数？
• RQ5 离散中位数在多大程度上保持了连续情形下观察到的非质量分裂性质？

主要发现

• 即使输入测度为离散，离散Wasserstein中位数始终是离散测度。
• 存在一个可证明稀疏的中位数，对于9座城市与8个月份，其支撑点数量上界为 $ 65 = 9 imes 8 - 8 + 1 $。
• 案例研究中计算得到的中位数具有 $ | ext{supp}(ar{P})| = 63 $，与理论稀疏性上界极为接近。
• 中位数解仅使用了覆盖集 $ S $ 中 0.5% 的可能支撑点，而 $ S $ 的大小为 $ inom{16}{8} = 12,870 $。
• 对于每个边缘分布，均存在一个从中位数出发的最优传输映射，且不发生质量分裂，这在离散设置中是一个非平凡性质。
• 由于中位数的特殊结构，所有边缘分布均保证存在非质量分裂的传输映射，即使在任意离散测度之间此类映射可能不存在。