[论文解读] Discretely sampled variance and volatility swaps versus their continuous approximations

Robert A. Jarrow, Younes Kchia+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文严格分析了在金融市场上使用连续时间近似来近似离散采样波动率和方差互换的有效性。它确立了离散采样互换价值有限并收敛到其连续对应物的条件，表明在 3/2 随机波动率模型中，仅在特定参数范围内收敛才被保证，而其他情况下仍为开放问题。

ABSTRACT

Discretely sampled variance and volatility swaps trade actively in OTC markets. To price these swaps, the continuously sampled approximation is often used to simplify the computations. The purpose of this paper is to study the conditions under which this approximation is valid. Our first set of theorems characterize the conditions under which the discretely sampled swap values are finite, given the values of the continuous approximations exist. Surprisingly, for some otherwise reasonable price processes, the discretely sampled swap prices do not exist, thereby invalidating the approximation. Examples are provided. Assuming further that both swap values exist, we study sufficient conditions under which the discretely sampled values converge to their continuous counterparts. Because of its popularity in the literature, we apply our theorems to the 3/2 stochastic volatility model. Although we can show finiteness of all swap values, we can prove convergence of the approximation only for some parameter values.

研究动机与目标

• 确定当连续近似存在时，离散采样方差和波动率互换价值存在的条件。
• 识别离散采样互换价值收敛到其连续对应物的充分条件。
• 评估在实践中广泛使用的连续近似方法的有效性，特别是在 3/2 随机波动率模型的背景下。
• 指出即使在其他方面合理的价格过程下，该近似也可能失效的情况。
• 为方差和波动率互换的定价与对冲中使用连续近似提供理论基础。

提出的方法

• 在无免费午餐且风险趋零（NFLVR）条件下使用局部鞅定价框架，以确保市场一致性。
• 应用半鞅理论来建模具有可能不连续路径的标的资产价格过程。
• 利用定理 3 推导离散采样与连续采样互换价值之间差异的上界。
• 对波动率过程施加矩条件，以证明极限与期望算子可交换，如定理 4 所形式化。
• 将结果应用于 3/2 随机波动率模型，利用已知的积分方差的拉普拉斯变换。
• 使用合流超几何函数和伽马函数来表征 3/2 模型中积分方差的矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 当连续近似有限时，离散采样方差和波动率互换价值存在的条件是什么？
• RQ2 随着采样频率增加，离散采样互换价值的极限何时收敛到连续近似？
• RQ3 为何即使在合理的随机波动率模型下，连续近似仍可能失效？
• RQ4 在 3/2 模型中，离散采样向连续互换价值收敛的精确参数范围是什么？
• RQ5 在 3/2 模型中，离散采样向连续方差互换价值的收敛是否对所有参数值都保证？

主要发现

• 即使连续近似是有限的，离散采样方差互换价值也可能不存在，这使得该近似在某些价格过程中失效。
• 离散采样与连续采样互换价值之间的最大差异被一个随 $1/n$ 衰减的项所上界控制，其中 $n$ 为采样点数。
• 在额外的矩条件成立时，离散采样向连续互换价值的收敛被保证，如定理 4 所形式化。
• 在 3/2 随机波动率模型中，所有可接受参数下，离散与连续互换价值均为有限。
• 仅当 $q < 0$ 时，即当平方波动率均值回归时，收敛性才被证明；当 $q \geq 0$ 时，收敛性尚未证明，仍为开放问题。
• 3/2 模型中积分方差的拉普拉斯变换可使用合流超几何函数以闭式表达，从而支持矩分析。