[论文解读] Discreteness and Determinism in Superstrings

Gerard ’t Hooft|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 12被引用 14

一句话总结

本文提出了一种确定性元胞自动机（CA）框架，用于超弦理论，通过约旦-维格纳变换将1+1维世界面晶格上的离散经典比特映射到D维量化超弦态。关键成果是实现了完全确定性、离散的超弦形式，同时保持洛伦兹不变性和超对称性，为基于底层经典动力学的量子力学提供了一种新的‘元胞自动机诠释’。

ABSTRACT

Ideas presented in two earlier papers are applied to string theory. It had been found that a deterministic cellular automaton in one space- and one time dimension can be mapped onto a bosonic quantum field theory on a 1+1 dimensional lattice. We now also show that a cellular automaton in 1+1 dimensions that processes only ones and zeros, can be mapped onto a fermionic quantum field theory in a similar way. The natural system to apply all of this to is superstring theory, and we find that all classical states of a classical, deterministic string propagating in a rectangular, D dimensional space-time lattice, with some boolean variables on it, can be mapped onto the elements of a specially chosen basis for a (quantized) D dimensional superstring. This string is moderated ("regularized") by a 1+1 dimensional lattice on its world sheet, which may subsequently be sent to the continuum limit. The space-time lattice in target space is not sent to the continuum, while this does not seem to reduce its physically desirable features, including Lorentz invariance. We claim that our observations add a new twist to discussions concerning the interpretation of quantum mechanics, which we call the cellular automaton (CA) interpretation. Detailed discussions of this interpretation, and in particular its relation to the Bell inequalities, are now included.

研究动机与目标

• 开发一种确定性、离散的元胞自动机模型，用于超弦理论，以重现量子力学行为，而无需引入内在的非确定性。
• 通过约旦-维格纳变换，将1+1维世界面晶格上的经典布尔变量映射到量化D维超弦态的基。
• 在连续极限中保持目标时空的洛伦兹不变性和超对称性，同时保持目标时空的离散晶格结构。
• 提供一种新的量子力学诠释——‘元胞自动机诠释’——挑战标准观点中对量子非确定性的看法，并解决贝尔不等式问题。

提出的方法

• 使用1+1维离散世界面晶格来正则化弦动力学，其中布尔变量（0和1）通过局部规则确定性演化。
• 通过约旦-维格纳变换将离散世界面自由度映射到费米子模式，确保正确的反对易关系。
• 利用整数变量场 $Q, P, \cdots$ 及其对应算符 $\eta_Q, \eta_P$ 构造D维超弦的希尔伯特空间基，其本征值位于 $[-1/2, 1/2]$。
• 采用修改后的量子形式，其中 $h = 1$（即 $\hbar = 1/(2\pi)$），使用 $\epsilon = e^{2\pi}$ 编码相位因子和离散平移。
• 在普朗克尺度上保持目标时空的时空晶格结构，晶格间距归一化为 $a_\ell = 1$，而世界面晶格则取连续极限。
• 使用约束来固定纵向模式并确保态计数的一致性，其结果可能依赖于晶格点的奇偶性结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在1+1维的确定性元胞自动机中，能否生成一个与超弦结构相符的费米子量子场论？
• RQ2 如何将世界面晶格上的离散经典比特映射到量化D维超弦态的基，同时保持洛伦兹不变性？
• RQ3 偶/奇晶格点结构以及整数变量约束在保持超对称性和避免态计数歧义性方面起什么作用？
• RQ4 所提出的元胞自动机诠释如何与贝尔不等式和非定域性相协调？
• RQ5 为何世界面上存在 $D-2$ 个布尔自由度会自然导致目标空间中出现无质量、非相互作用的超对称性？

主要发现

• 在1+1维世界面晶格上使用布尔变量的确定性元胞自动机，可通过约旦-维格纳变换映射到量化D维超弦态的基。
• 该映射在目标空间中保持洛伦兹不变性，尽管时空晶格保持离散，表明离散洛伦兹不变性可从离散基础理论中涌现。
• 在世界面上包含 $D-2$ 个布尔自由度，自然导致目标空间中出现无质量、非相互作用的费米子，从而实现超对称性。
• 弦耦合常数被设为单位1，意味着 $\alpha' \sim l_P^2$，因此时空晶格间距处于普朗克长度数量级。
• 由于纵向模式的约束，态计数问题出现，其解决方式可能依赖于晶格点的奇偶性，表明晶格结构与费米统计之间可能存在潜在联系。
• 该形式体系表明，费米子的自旋和旋转性质仅在考虑洛伦兹变换时才出现，而非直接耦合到横向方向。