[论文解读] Discretisation of continuous-time linear dynamical model with the Loewner interpolation framework

Pierre Vuillemin, Charles Poussot-Vassal|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于Loewner插值的连续时间线性时不变（LTI）系统离散化方法，可生成高阶离散模型，从而提高频域和时域精度。通过插值频率数据并投影到稳定子空间，该方法在幅度和相位匹配方面优于零阶保持（ZOH）和Tustin方法，时间延迟系统中的相对误差降低至0.094%。

ABSTRACT

An interpolation method for discretising continuous-time Linear Time Invariant (LTI) models is proposed in this paper. It consists first in using the Loewner interpolation framework on a specific set of frequency data and secondly to project the resulting model onto a stable subspace. The order of the discretised model may be chosen larger than the initial one thus allowing for trading complexity for accuracy if needed. Numerical examples highlight the efficiency of the method at preserving a satisfactory matching both in magnitude and phase in comparison to standard discretisation methods like ZOH or Tustin.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的连续时间LTI系统离散化方法，以在频域和时域均保持输入输出特性。
• 解决标准方法（如零阶保持ZOH和Tustin）在大采样周期下精度下降的局限性。
• 在离散化过程中实现模型阶次提升，通过增加复杂度换取更高精度，而无需减小采样周期。
• 将适用范围扩展至标准状态空间模型之外的系统，如时滞系统（TDS）。
• 通过投影到 Hardy 空间 $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$ 确保所得离散模型的稳定性。

提出的方法

• 使用在复频域指定区间 $\Omega$ 内采样的频率响应数据构建Loewner矩阵。
• 从Loewner矩阵构造有理插值函数，生成任意阶次 $k$ 的初始离散时间模型。
• 将插值函数投影到稳定子空间 $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$，以确保最终离散模型的稳定性。
• 允许离散化后的模型阶次 $n_d$ 超过原始系统阶次 $n$，通过增加复杂度实现精度提升。
• 通过使用无需状态空间结构的频域数据，将该方法应用于标准LTI系统和时滞系统。
• 使用投影算子 $P_\infty$ 确保最终模型在闭单位圆盘内保持稳定且解析。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于Loewner的插值框架能否在频域和时域匹配方面优于ZOH和Tustin等标准离散化方法？
• RQ2 在不减小采样周期的前提下，将模型阶次 $k$ 提高到何种程度可显著提升离散时间近似精度？
• RQ3 Loewner方法在处理缺乏标准状态空间表示的时滞系统时效果如何？
• RQ4 将插值函数投影到 $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$ 是否能确保稳定性同时保持精度？
• RQ5 鉴于连续域与离散域的对称角色，该方法是否可被调整以实现从离散模型到连续时间模型的转换？

主要发现

• 对于时滞系统，所提方法在 $\mathcal{H}_\infty$ 范数下的相对误差为0.094%，而Tustin方法为126.85%，ZOH方法为503.71%。
• 对于标准LTI系统，该方法将相对误差降低至22%，而ZOH为72%，Tustin为42%。
• Loewner离散化模型的脉冲响应与原始连续时间系统高度吻合，时域误差显著降低。
• 基于Loewner的模型在整个带宽范围内表现出更优的幅度和相位匹配特性。
• 该方法成功将一个时滞系统离散化为一个阶次为10的无时滞有理模型，系统动态特性得以近乎无误差地保留。
• 将插值函数投影到 $\mathcal{H}_{\infty}(\overline{\mathcal{D}})$ 的步骤确保了稳定性，同时在高阶模型下仍保持高精度。