[论文解读] Discretising differential geometry via a new product on the space of chains

Vivien de Beauce, Siddhartha Sen|ArXiv.org|Oct 5, 2006

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在链空间上的新型乘积，以一致地离散化微分几何，从而通过标架形式精确定义离散内积和度量数据。该方法能够恢复如陈类等拓扑不变量，并为麦克斯韦方程组和具有精确代数结构的拓扑场论提供系统化的离散化框架。

ABSTRACT

A discretisation of differential geometry using the Whitney forms of algebraic topology is consistently extended via the introduction of a pairing on the space of chains. This pairing of chains enables us to give a definition of the discrete interior product and thus provides a solution to a notorious puzzle in discretisation techniques. Further prescriptions are made to introduce metric data, as a discrete substitute for the continuum vielbein, or Cartan formulation. The original topological data of the de Rham complex is then recovered as a discrete version of the Pontryagin class, a sketch of a few examples of the technique is also provided. A map of discrete differential geometry into the non-commutative geometry of graphs is constructed which shows in a precise way the difference between them.

研究动机与目标

• 为离散外微分形式理论中定义精确离散内积这一长期存在的问题提供解决方案。
• 将惠特尼形式扩展至链的乘积空间，从而实现离散楔积和霍奇星算子的定义的一致性。
• 通过保持拓扑约束的标架形式，在离散设置中引入度量数据。
• 在离散微分几何与图的非交换几何之间建立精确映射，凸显二者在结构上的差异。
• 为诸如格点广义相对论和拓扑场论等物理理论提供可系统应用的离散化框架。

提出的方法

• 引入一个新的映射 $\bar{W}$，从链的笛卡尔积到微分形式，从而实现离散内积的明确定义。
• 通过链的乘积空间定义离散楔积和霍奇星算子，确保与连续理论的代数一致性。
• 利用链上的配对来表示度量数据，引入离散标架作为连续标架的替代。
• 构建从离散微分几​​何到图的非交换几何的映射，表明后者无法捕捉类似连续理论的度量数据。
• 将该框架应用于二维示例，包括通过欧拉示性数进行归一化，以及欧拉类等拓扑不变量。
• 推导物质场的离散作用量，包含一种类似威尔逊的项，以缓解格点表述中的费米子加倍问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在离散外微分形式理论框架内，如何一致地定义离散内积？
• RQ2 链的乘积空间在实现离散设置下楔积和霍奇星算子等精确代数运算中起到什么作用？
• RQ3 如何以保持拓扑约束并支持离散标架形式的方式对度量数据进行离散化？
• RQ4 离散微分几​何与图的非交换几何在捕捉度量和拓扑结构方面有何不同，特别是在这些结构的表达能力上？
• RQ5 该框架能否用于构建麦克斯韦理论或拓扑场论等物理场的精确离散作用量？

主要发现

• 引入链的乘积空间及扩展的惠特尼映射 $\bar{W}$，使得离散内积得以明确定义，解决了离散微分几​何中长期存在的问题。
• 通过乘积空间对离散楔积和霍奇星算子进行了系统重定义，保持了连续理论中的关键代数性质。
• 构建了离散标架形式，实现了度量的平滑离散化，同时利用拓扑不变量对参数进行归一化，确保了一致性。
• 通过积分欧拉类验证了欧拉示性数，通过强制约束 $\int W(e(K)) = 2$ 实现度量更新，保持了拓扑不变性。
• 该框架使得物质场的离散作用量得以构建，例如 $S_M = \int \bar{W}(\bar{\Phi}^K) \wedge \bar{W}(\star^\theta D^K \Phi^K)$，并引入类似威尔逊的项以缓解费米子加倍问题。
• 映射到图的非交换几何揭示，此类结构不足以捕捉类似连续理论的度量数据，凸显了两种方法之间的根本差异。