[论文解读] Discretized Approaches to Schematization

Wouter Meulemans|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文通过将示意图形状约束在$Χ$-方向平面图$G$上，研究了制图简化的离散化方法，提出了两种方法：简单地图匹配（寻找与输入多边形$P$的Fréchet距离较低的$G$中的环路）和连通面选择（寻找与$P$的对称差较低的$G$中连通面集合）。这两种问题即使在面积保持约束下，且针对标准网格、三角形或六边形镶嵌，也被证明是NP-完全的。

ABSTRACT

To produce cartographic maps, simplification is typically used to reduce complexity of the map to a legible level. With schematic maps, however, this simplification is pushed far beyond the legibility threshold and is instead constrained by functional need and resemblance. Moreover, stylistic geometry is often used to convey the schematic nature of the map. In this paper we explore discretized approaches to computing a schematic shape $S$ for a simple polygon $P$. We do so by overlaying a plane graph $G$ on $P$ as the solution space for the schematic shape. Topological constraints imply that $S$ should describe a simple polygon. We investigate two approaches, simple map matching and connected face selection, based on commonly used similarity metrics. With the former, $S$ is a simple cycle $C$ in $G$ and we quantify resemblance via the Fréchet distance. We prove that it is NP-hard to compute a cycle that approximates the minimal Fréchet distance over all simple cycles in a plane graph $G$. This result holds even if $G$ is a partial grid graph, if area preservation is required and if we assume a given sequence of turns is specified. With the latter, $S$ is a connected face set in $G$, quantifying resemblance via the symmetric difference. Though the symmetric difference seems a less strict measure, we prove that it is NP-hard to compute the optimal face set. This result holds even if $G$ is full grid graph or a triangular or hexagonal tiling, and if area preservation is required. Moreover, it is independent of whether we allow the set of faces to have holes or not.

研究动机与目标

• 将使用平面图为解空间的简单多边形制图简化的离散化方法进行形式化和分析。
• 研究两种关键制图方法（简单地图匹配与连通面选择）的计算复杂度。
• 确定在现实几何约束（如面积保持和$Χ$-方向几何）下，这些问题是否存在高效算法。
• 探索硬度结果是否在制图中典型的几何简化或输入假设下依然成立。

提出的方法

• 在简单多边形$P$上叠加一个$Χ$-方向平面图$G$，以定义示意图形状的离散解空间。
• 对于简单地图匹配，将示意图形状$S$建模为$G$中的简单环路$C$，并使用Fréchet距离$d_{\textrm{F}}(C,P)$度量相似性。
• 对于连通面选择，将$S$建模为$G$中连通的面集合，并使用对称差$d_{\textrm{SD}}(S,P)$度量相似性。
• 通过从已知的NP难问题（包括矩形Steiner树和平面3-SAT）进行归约，证明两个问题均为NP-完全。
• 通过构造具有特定面积和权重约束的自定义多边形输入，以强制解的结构。
• 证明即使限制在完整网格图、三角形/六边形镶嵌以及面积保持要求下，该硬度依然成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面图$G$中寻找一个简单环路，使其与给定多边形$P$的Fréchet距离最小化的问题是否具有计算上的可解性？
• RQ2 能否高效地最小化$G$中连通面集合与输入多边形$P$之间的对称差？
• RQ3 这些问题的NP-完全性是否在面积保持约束下，以及在标准镶嵌类型（如网格、三角形或六边形）下依然成立？
• RQ4 是否存在合理的几何输入假设（例如有界狭窄性）可导致多项式时间算法，尽管在一般情况下问题为NP难？
• RQ5 在实际约束下，能否为这些问题开发固定参数可追踪或近似算法？

主要发现

• 简单地图匹配问题——即在平面图$G$中寻找一个与输入多边形$P$的Fréchet距离不超过$\varepsilon$的简单环路——是NP-完全的。
• 即使$G$为部分网格图、要求面积保持，且指定了固定转向序列，该NP-完全性依然成立。
• 连通面选择问题——即在$G$中寻找一个与$P$的对称差不超过$D$的连通面集合——也是NP-完全的。
• 即使$G$为完整网格图、三角形或六边形镶嵌，或允许面集合中存在孔洞，该硬度依然成立。
• NP-完全性结果在多种图类（包括平面图和结构化镶嵌）中均具有鲁棒性。
• 由于最小Fréchet距离的近似是NP难的，因此对于简单地图匹配问题，不存在合理的近似算法，除非P = NP。