[论文解读] Discriminant and root separation of integral polynomials

Friedrich Götze, Dmitry Zaporozhets|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文研究了随机整系数多项式在系数从 $\{-Q, \dots, Q\}$ 中均匀选取时的判别式分布与根间距分布。结果表明，当 $Q \to \infty$ 时，归一化判别式 $D(G_Q)/Q^{2n-2}$ 的分布收敛于系数在 $[-1,1]$ 中的随机多项式的判别式分布，误差界为 $C_n / \log Q$。这表明典型整系数多项式的根间距有正的下界和上界，从而解决了根间距的随机模型问题。

ABSTRACT

Consider a random polynomial $$ G_Q(x)=ξ_{Q,n}x^n+ξ_{Q,n-1}x^{n-1}+...+ξ_{Q,0} $$ with independent coefficients uniformly distributed on $2Q+1$ integer points $\{-Q, ..., Q\}$. Denote by $D(G_Q)$ the discriminant of $G_Q$. We show that there exists a constant $C_n$, depending on $n$ only such that for all $Q\ge 2$ the distribution of $D(G_Q)$ can be approximated as follows $$ \sup_{-\infty\leq a\leq b\leq\infty}|\mathbb{P}(a\leq \frac{D(G_Q)}{Q^{2n-2}}\leq b)-\int_a^bφ_n(x)\, dx|\leq\frac{C_n}{\log Q}, $$ where $φ_n$ denotes the distribution function of the discriminant of a random polynomial of degree $n$ with independent coefficients which are uniformly distributed on $[-1,1]$. Let $Δ(G_Q)$ denote the minimal distance between the complex roots of $G_Q$. As an application we show that for any $\varepsilon>0$ there exists a constant $δ_n>0$ such that $Δ(G_Q)$ is stochastically bounded from below/above for all sufficiently large $Q$ in the following sense $$ \mathbb{P}(δ_n1-\varepsilon . $$

研究动机与目标

• 理解有界系数下随机整系数多项式的典型判别式与根间距行为。
• 确定当系数在 $\{-Q, \dots, Q\}$ 上均匀分布且 $Q \to \infty$ 时，判别式的极限分布。
• 为大 $Q$ 时的最小根间距 $\Delta(G_Q)$ 建立随机下界与上界，表明其在概率上远离零与无穷大。
• 将分析扩展至随机多项式对的结式，证明其分布具有类似的收敛性。

提出的方法

• 以系数在 $\{-Q, \dots, Q\}$ 上独立同分布的随机整系数多项式 $G_Q$ 建模，并通过 $Q$ 归一化得到 $G_Q/Q$。
• 利用矩收敛与特征函数技术，证明归一化判别式 $D(G_Q/Q)$ 的 $k$ 阶矩收敛于系数在 $[-1,1]$ 中的随机多项式判别式的矩。
• 利用埃森不等式与特征函数比较，建立分布逼近的统一误差界。
• 证明 $D(G_Q)/Q^{2n-2}$ 与极限分布 $\varphi_n(x)$ 的累积分布函数之差被 $C_n / \log Q$ 控制。
• 应用该结果推导根间距 $\Delta(G_Q)$ 的随机界，表明其以高概率远离零与无穷大。
• 将方法扩展至两个独立随机多项式的结式，证明 $R(G_Q, F_Q)/Q^{m+n}$ 的分布也具有类似的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $Q \to \infty$ 时，系数在 $\{-Q, \dots, Q\}$ 中的随机整系数多项式的判别式行为如何渐近表现？
• RQ2 归一化判别式 $D(G_Q)/Q^{2n-2}$ 的分布能否被系数在 $[-1,1]$ 中的多项式判别式分布近似？
• RQ3 此类随机多项式的典型最小根间距 $\Delta(G_Q)$ 是什么？其是否在概率上远离零与无穷大？
• RQ4 两个独立随机整系数多项式结式的分布经归一化后行为如何？
• RQ5 归一化判别式分布收敛于极限律的速率为何？

主要发现

• 归一化判别式 $D(G_Q)/Q^{2n-2}$ 的分布收敛于系数在 $[-1,1]$ 中的随机多项式判别式分布 $\varphi_n(x)$，误差界为 $C_n / \log Q$，其中常数 $C_n$ 仅依赖于 $n$。
• 对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_n > 0$，使得对所有充分大的 $Q$，有 $\mathbb{P}(\delta_n < \Delta(G_Q) < 1/\delta_n) > 1 - \varepsilon$，表明典型根间距远离零与无穷大。
• 最小根间距 $\Delta(G_Q)$ 在概率上具有下界与上界，即当 $Q \to \infty$ 时，其不会以概率趋于零或无穷大。
• 归一化判别式 $D(G_Q)/Q^{2n-2}$ 依分布收敛于系数在 $[-1,1]$ 中的极限随机多项式判别式，且具有显式的误差控制。
• 对两个次数分别为 $n$ 与 $m$ 的独立随机多项式 $G_Q$ 与 $F_Q$，其结式 $R(G_Q, F_Q)/Q^{m+n}$ 的分布也具有相同的收敛性。
• 收敛速率为 $O(1/\log Q)$，对这类系数分布是最优的。