[论文解读] Discriminant module and intersection theory on Hilbert schemes of nodal curves

Ziv Ran|arXiv (Cornell University)|May 14, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文在任意维数基上的节点或光滑曲线的相对 Hilbert 模型上，引入了一种类判别模块，利用对角线簇、节点柱面及其扭化构造。它确定了判别或大对角线除子在该模块上的作用，从而实现了对这些 Hilbert 模型上典型向量丛的任意陈多项式与陈数的计算。

ABSTRACT

ABSTRACT. We study intersection theory on the relative Hilbert scheme of a family of nodal (or smooth) curves, over a base of arbitrary dimension. We introduce an additive group called ’discriminant module’, generated by diagonal loci, node scrolls, and twists thereof, and determine the action of the discriminant or big diagonal divisor on this group by intersection. We show that this suffices to determine arbitrary polynomials in Chern classes, in particular Chern numbers, for the tautological vector bundles on the Hilbert schemes, which are closely related

研究动机与目标

• 开发一个在任意维数基上节点或光滑曲线的相对 Hilbert 模型上的交点理论框架。
• 定义并研究一个由对角线簇、节点柱面及其扭化生成的加法群——称为判别模块。
• 通过交点理论，确定判别或大对角线除子在判别模块上的作用。
• 建立一种计算这些 Hilbert 模型上典型向量丛的任意陈类多项式的方法。
• 为节点曲线 Hilbert 模型上典型丛的陈数计算提供系统化工具。

提出的方法

• 在相对 Hilbert 模型的 Chow 群中，将判别模块构造为由对角线簇、节点柱面及其扭化生成的加法群。
• 将判别或大对角线除子定义为相对曲线 Hilbert 模型上的关键除子类。
• 运用交点理论技术，计算判别除子对判别模块生成元的作用。
• 利用所得的交点公式，推导出典型向量丛陈类之间的关系。
• 将该理论应用于计算 Hilbert 模型上典型丛的任意陈多项式与陈数。
• 利用曲线族的相对结构，将结果推广至绝对情形之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意维数基上节点或光滑曲线族的相对 Hilbert 模型上系统地发展交点理论？
• RQ2 由对角线簇、节点柱面及其扭化生成的判别模块具有何种结构？
• RQ3 判别或大对角线除子通过交点作用于判别模块时，其作用机制如何？
• RQ4 判别模块上的交点作用是否可用于计算典型向量丛的任意陈多项式？
• RQ5 节点曲线 Hilbert 模型上典型丛的陈数的显式公式是什么？

主要发现

• 判别模块被定义为相对 Hilbert 模型 Chow 群中由对角线簇、节点柱面及其扭化生成的加法群。
• 判别或大对角线除子在判别模块上的作用，通过交点理论计算被完全确定。
• 该作用为计算 Hilbert 模型上典型向量丛的任意陈类多项式提供了完整框架。
• 该方法可实现对节点曲线 Hilbert 模型上典型丛陈数的显式计算。
• 结果可推广至任意维数基上的曲线族，而不仅限于绝对情形。
• 该理论在相对 Hilbert 模型背景下，为几何簇与特征类之间建立了系统性联系。