[论文解读] Discriminants of Symmetric Polynomials

N. S. Perminov, Sh. Shakirov|ArXiv.org|Oct 30, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 3被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种无需除法、计算高效的对称齐次多项式判别式公式，其次数为 r，在 n ≥ r 个变量中定义，通过将其分解为低次对称分量的结式来实现。关键贡献在于推导出一个闭式表达式，即使在 n ≈ 20 的情况下也能在数秒内完成符号计算，且为 r = 2, 3, 4 及反对称情形给出了显式公式。

ABSTRACT

A homogeneous polynomial S(x_1, ..., x_n) of degree r in n variables posesses a discriminant D_{n|r}(S), which vanishes if and only if the system of equations dS/dx_i = 0 has non-trivial solutions. We give an explicit formula for discriminants of symmetric (under permutations of x_1, ..., x_n) homogeneous polynomials of degree r in n >= r variables. This formula is division free and quite effective from the computational point of view: symbolic computer calculations with the help of this formula take seconds even for n ~ 20. We work out in detail the cases r = 2,3,4 which will be probably important in applications. We also consider the case of completely antisymmetric polynomials.

研究动机与目标

• 推导出在 n ≥ r 个变量中次数为 r 的对称齐次多项式判别式的闭式、无除法公式。
• 实现判别式的快速且实用的计算，以应对由于其指数复杂度而对高阶 n 和 r 通常不可计算的问题。
• 探索对称情形下判别式的因式分解结构，揭示其为若干较简单结式的乘积。
• 将该框架扩展至完全反对称多项式，表明当 n > 2 时其判别式为零，而当 n = 2 时，其判别式退化为对称情形。
• 通过提供计算上可处理的判别式表达式，支持非线性代数、芬斯勒几何及理论物理中的应用。

提出的方法

• 利用初等对称多项式对对称齐次多项式进行参数化，并利用变量置换下的不变性。
• 推导临界点条件 ∂S/∂xi = 0，并证明判别式 Dn|r(S) 当且仅当该方程组存在非平凡解时为零。
• 将判别式因式分解为若干项 dM(S) 的乘积，每一项对应于将 n 分解为 r−1 个部分的整数分拆 M，其重数由多项式系数决定。
• 将每个因子 dM(S) 表示为最多 (r−1) 个变量的结式，从而实现递归且高效的计算。
• 利用欧拉恒等式与对称性，简化反对称多项式偏导数方程组。
• 通过归一化条件 Dn|r(x₁ʳ + … + xₙʳ) = 1 固定判别式中的整体常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在 n ≥ r 个变量中次数为 r 的对称齐次多项式判别式推导出一个闭式、无除法的公式？
• RQ2 对称多项式的判别式如何因式分解？该因式分解结构能否用于高效计算？
• RQ3 完全反对称多项式的判别式具有何种结构？其与对称情形有何关联？
• RQ4 该判别式公式在多大程度上可被用于高效计算大规模示例（如 n ≈ 20）的符号计算？
• RQ5 该框架能否推广至非齐次多项式或其他对称类型（超越对称与反对称）？

主要发现

• 在 n ≥ r 个变量中次数为 r 的对称齐次多项式判别式可因式分解为若干结式 dM(S) 的乘积，每个 dM(S) 对应于将 n 分解为 r−1 个部分的整数分拆 M。
• 每个因子 dM(S) 是最多 (r−1) 个变量的结式，从而即使在 n ≈ 20 的情况下也能实现高效的符号计算。
• 当 r = 2 时，判别式退化为行列式；当 r = 3 和 r = 4 时，推导出显式公式，并证明其计算上是可行的。
• 完全反对称多项式的判别式在 n > 2 时为零，而当 n = 2 时，其判别式简化为 D₂|r(S) = S̃(1,1)² · D₂|r−1(S̃)，其中 S̃ 为对称部分。
• 判别式的次数为 n(r−1)ⁿ⁻¹，与一般结式理论一致，且归一化条件 Dn|r(x₁ʳ + … + xₙʳ) = 1 固定了整体常数。
• 该因式分解结构可防止判别式增长至数百页的单项式形式（如 D₃|₃ 有 2040 个单项式），从而使对称情形可被闭式表达式描述。