[论文解读] Discriminative Measures for Comparison of Phylogenetic Trees

Ömür Arslan, Dan P. Guralnik+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2013

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了两种新的高效相异度度量——导航相异度 $d_{\text{nav}}$ 和交叉相异度 $d_{\text{CM}}$——用于比较进化树，其基础是最近邻交换（NNI）操作与簇不相容性。这两种度量均为对称、正定，且可在 $O(n^2)$ 时间内计算，相对于 Robinson-Foulds 度量提供了更紧的界，同时避免了精确 NNI 距离计算的 NP-难复杂性。

ABSTRACT

In this paper we introduce and study three new measures for efficient discriminative comparison of phylogenetic trees. The NNI navigation dissimilarity $d_{nav}$ counts the steps along a "combing" of the Nearest Neighbor Interchange (NNI) graph of binary hierarchies, providing an efficient approximation to the (NP-hard) NNI distance in terms of "edit length". At the same time, a closed form formula for $d_{nav}$ presents it as a weighted count of pairwise incompatibilities between clusters, lending it the character of an edge dissimilarity measure as well. A relaxation of this formula to a simple count yields another measure on all trees --- the crossing dissimilarity $d_{CM}$. Both dissimilarities are symmetric and positive definite (vanish only between identical trees) on binary hierarchies but they fail to satisfy the triangle inequality. Nevertheless, both are bounded below by the widely used Robinson-Foulds metric and bounded above by a closely related true metric, the cluster-cardinality metric $d_{CC}$. We show that each of the three proposed new dissimilarities is computable in time $O(n^2)$ in the number of leaves $n$, and conclude the paper with a brief numerical exploration of the distribution over tree space of these dissimilarities in comparison with the Robinson-Foulds metric and the more recently introduced matching-split distance.

研究动机与目标

• 为解决 NNI 距离的计算不可行性（其为 NP-难）而引入一种实用的树比较替代方法。
• 通过引入一种更具区分力但又高效的度量，弥合 Robinson-Foulds 等粗粒度度量与昂贵的编辑距离方法之间的差距。
• 开发一种基于导航的相异度 $d_{\text{nav}}$，通过在 NNI 图上进行梳妆过程来近似 NNI 距离。
• 提出一种松弛的、对称的度量 $d_{\text{CM}}$，基于成对簇不相容性，可在 $O(n^2)$ 时间内计算。
• 建立理论界，将 $d_{\text{nav}}$、$d_{\text{CM}}$ 与现有的 Robinson-Foulds 和簇基数度量联系起来。

提出的方法

• 将 $d_{\text{nav}}$ 定义为通过 NNI 图上的梳妆过程，从一棵二叉树导航到另一棵树所需的 NNI 步数，并基于加权簇不相容性给出闭式公式。
• 推导出 $d_{\text{nav}}$ 的闭式表达式，即两棵树之间成对不相容性的加权和，从而实现无需路径重建的 $O(n^2)$ 计算。
• 提出 $d_{\text{CM}}$ 作为 $d_{\text{nav}}$ 的松弛形式，定义为两棵树之间所有成对簇不相容性的总和，该度量具有对称性和正定性。
• 建立理论界，显示 $d_{\text{RF}} \leq d_{\text{nav}} \leq \frac{1}{2}d_{\text{RF}}^2 + \frac{1}{2}d_{\text{RF}}$ 以及 $d_{\text{RF}} \leq d_{\text{CM}} \leq d_{\text{RF}}^2$，且 $d_{\text{nav}} \leq \frac{3}{2}d_{\text{CM}}$。
• 引入簇基数度量 $d_{\text{CC}}$ 作为真正度量，可从上方界 $d_{\text{nav}}$，为度量性质提供参考。
• 证明 $d_{\text{nav}}$ 尽管不满足三角不等式，但具有对称性和正定性，且其值与导航过程中的路径选择无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于 NNI 图上的导航方法，构造出一种计算高效的 NP-难 NNI 距离近似？
• RQ2 导航相异度 $d_{\text{nav}}$ 与 Robinson-Foulds 距离及其他已建立的树度量之间有何关系？
• RQ3 能否从簇不相容性中导出一种对称、正定且可高效计算的相异度，而无需进行路径计算？
• RQ4 如何建立 $d_{\text{nav}}$、$d_{\text{CM}}$、$d_{\text{RF}}$ 和 $d_{\text{CC}}$ 之间的理论界？
• RQ5 尽管构建过程具有非对称性，导航相异度 $d_{\text{nav}}$ 是否仍保持对称性和正定性？

主要发现

• 导航相异度 $d_{\text{nav}}$ 是对称且正定的，其闭式公式使得无需路径重建即可实现 $O(n^2)$ 计算。
• $d_{\text{nav}}$ 的下界为 Robinson-Foulds 距离，上界为 $\frac{1}{2}d_{\text{RF}}^2 + \frac{1}{2}d_{\text{RF}}$，相较于 RF 提供了更紧的区分度。
• 交叉相异度 $d_{\text{CM}}$ 是 $d_{\text{nav}}$ 的松弛形式，统计所有成对簇不相容性，且可在 $O(n^2)$ 时间内计算。
• $d_{\text{CM}}$ 满足 $d_{\text{RF}} \leq d_{\text{CM}} \leq d_{\text{RF}}^2$ 且 $d_{\text{nav}} \leq \frac{3}{2}d_{\text{CM}}$，表明两者之间具有强一致性。
• 簇基数度量 $d_{\text{CC}}$ 是一个真正度量，可从上方界 $d_{\text{nav}}$，且 $d_{\text{nav}}$ 与 $d_{\text{CM}}$ 均被 $d_{\text{CC}}$ 从上方界住。
• 尽管不满足三角不等式，$d_{\text{nav}}$ 在导航过程中对路径选择具有不变性，确保无论选择何种 NNI 步骤，其值均保持一致。