[论文解读] Disorder chaos and multiple valleys in spin glasses

Sourav Chatterjee|ArXiv.org|Jul 20, 2009

Theoretical and Computational Physics参考文献 29被引用 54

一句话总结

本文在任意温度且无外场条件下，严格证明了在Sherrington-Kirkpatrick（S-K）自旋玻璃模型中存在 disorder chaos（ disorder 破坏）与多重能量谷（multiple valleys）现象，表明微小的耦合扰动会显著改变基态，并且存在大量能量接近最低的态，其重叠度接近零。此外，本文识别出超集中现象（superconcentration）——自由能方差异常小——并将其与 chaos 现象联系起来；同时表明 Edwards-Anderson 模型不具备此类 chaos 与超集中现象。

ABSTRACT

We prove that the Sherrington-Kirkpatrick model of spin glasses is chaotic under small perturbations of the couplings at any temperature in the absence of an external field. The result is proved for two kinds of perturbations: (a) distorting the couplings via Ornstein-Uhlenbeck flows, and (b) replacing a small fraction of the couplings by independent copies. We further prove that the S-K model exhibits multiple valleys in its energy landscape, in the weak sense that there are many states with near-minimal energy that are mutually nearly orthogonal. We show that the variance of the free energy of the S-K model is unusually small at any temperature. (By `unusually small' we mean that it is much smaller than the number of sites; in other words, it beats the classical Gaussian concentration inequality, a phenomenon that we call `superconcentration'.) We prove that the bond overlap in the Edwards-Anderson model of spin glasses is not chaotic under perturbations of the couplings, even large perturbations. Lastly, we obtain sharp lower bounds on the variance of the free energy in the E-A model on any bounded degree graph, generalizing a result of Wehr and Aizenman and establishing the absence of superconcentration in this class of models. Our techniques apply for the p-spin models and the Random Field Ising Model as well, although we do not work out the details in these cases.

研究动机与目标

• 严格建立 Sherrington-Kirkpatrick 自旋玻璃模型中多重低能态（弱多重能量谷）存在的数学依据。
• 在连续（Ornstein-Uhlenbeck）与离散（分数替换）扰动下，证明 S-K 模型中存在 disorder chaos（对耦合微小扰动的敏感性）。
• 在 S-K 模型中识别出超集中现象（自由能方差远小于典型值），并将其与连续扰动下的 chaos 现象相联系。
• 证明 Edwards-Anderson 模型即使在大扰动下也不表现出 disorder chaos 或超集中现象。
• 将该理论框架扩展至 $p$-自旋模型与随机磁场伊辛模型，尽管这些情形下未给出完整证明。

提出的方法

• 利用高斯场论与超收缩性（hypercontractivity）分析自由能方差，并推导在扰动下重叠度的界。
• 应用高斯泛函方差的一般公式（定理 3.8）计算并界定 S-K 模型中自由能的方差。
• 通过 Ornstein-Uhlenbeck 过程的耦合论证，证明在连续扰动下 chaos 的存在性，表明重叠度随系统尺寸指数衰减。
• 采用离散扰动模型，即独立重采样部分耦合项，证明在不连续变化下的 chaos 现象。
• 在有界度图上对 Edwards-Anderson 模型应用方差的精确下界，推广 Wehr 与 Aizenman 的结果。
• 利用 chaos 与超集中现象之间的联系：连续扰动下的 chaos 等价于超集中现象，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 S-K 模型在耦合项的微小连续与离散扰动下是否表现出 disorder chaos？
• RQ2 S-K 模型中是否存在多个彼此近乎正交的低能态（弱多重能量谷）？
• RQ3 S-K 模型中自由能的方差是否异常小（即超集中现象）？该现象是否与 chaos 相互蕴含？
• RQ4 Edwards-Anderson 模型在耦合扰动下是否表现出 disorder chaos 或超集中现象？
• RQ5 为 S-K 模型所建立的理论框架能否推广至 $p$-自旋模型或随机磁场伊辛模型？

主要发现

• S-K 模型在任意温度下，对耦合项的连续（Ornstein-Uhlenbeck）与离散（分数替换）扰动均表现出 disorder chaos。
• S-K 模型表现出弱多重能量谷：存在大量接近最小能量的态，彼此之间重叠度 $R_{1,2} \simeq 0$，近乎正交。
• S-K 模型中自由能的方差为超集中现象——远小于自旋数 $N$，违反了经典集中不等式。
• S-K 模型中 disorder chaos 与超集中现象等价：连续扰动下的 chaos 意味着超集中，反之亦然。
• Edwards-Anderson 模型在任何扰动下（包括大扰动）均不表现出 disorder chaos，其自由能方差远离超集中现象。
• 对于随机能量模型（REM），本文证明了在连续扰动下，配置间重叠度的尖锐指数衰减界，常数仅依赖于逆温度 $\beta$。