[论文解读] Dispersion and localization in structured Rayleigh beams

A. Piccolroaz, A. B. Movchan|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Thermoelastic and Magnetoelastic Phenomena参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文研究了具有转动惯性和预应力的周期性Rayleigh梁在Winkler弹性基础支撑下的色散波行为与局域化特性，通过数学类比将该系统与偶应力材料相联系。推导出闭合形式的色散方程，结果表明转动惯性可产生宽广的低频禁带和强局域化，从而实现波过滤，并在弹性波屏蔽方面具有潜在应用价值。

ABSTRACT

This paper brings a comparative analysis between dynamic models of couple-stress elastic materials and structured Rayleigh beams on a Winkler foundation. Although physical phenomena have different physical origins, the underlying equations appear to be similar, and hence mathematical models have a lot in common. In the present work, our main focus is on the analysis of dispersive waves, band-gaps and localized waveforms in structured Rayleigh beams. The Rayleigh beam theory includes the effects of rotational inertia which are neglected in the Euler--Bernoulli beam theory. This makes the approach applicable to higher frequency regimes. Special attention is given to waves in pre-stressed Rayleigh beams on elastic foundations.

研究动机与目标

• 分析具有转动惯性和预应力的Rayleigh梁中的色散波传播与禁带形成机制。
• 建立Rayleigh梁与偶应力弹性材料之间的数学类比，以共享波动力学特性。
• 研究转动惯性和弹性基础如何影响周期性梁系统中的波局域化与群速度。
• 推导并求解周期性结构Rayleigh梁的准周期Green函数与色散方程。
• 探索此类系统在弹性波过滤与动力屏蔽应用中的潜力。

提出的方法

• 建立在Winkler弹性基础上的预应力Rayleigh梁的控制方程，包含平动与转动惯性效应：$EI\thinspace v^{\text{iv}} - P\thinspace v'' + \rho A\thinspace \bar{v} - \rho I\thinspace \bar{v}'' + \beta v = 0$。
• 建立Rayleigh梁方程与偶应力材料中面内剪切波方程之间的形式数学等价性，突出其共享的高阶色散项。
• 利用无量纲质量$\overline{M}$与转动惯量$\overline{I}_M$参数，推导出Rayleigh梁中周期性多质量系统的闭合形式色散方程。
• 构建同时包含平动与转动惯性效应的准周期Green函数，以实现对缺陷模态与局域波形的分析。
• 通过数值求解色散方程生成色散图，并分析禁带结构与群速度行为。
• 利用色散方程在$Z = \cos(Kd)$下的有理函数形式，实现对周期性系统能带结构的精确高效求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rayleigh梁中的转动惯性如何影响低频禁带的形成及其宽度？
• RQ2 预应力与Winkler基础刚度在塑造周期性Rayleigh梁色散特性方面起什么作用？
• RQ3 平动与转动惯性联合作用如何影响周期性梁系统中的群速度与波局域化？
• RQ4 Rayleigh梁与偶应力材料之间的数学类比如何促进对波色散与局域化的分析？
• RQ5 能否为具有转动惯性的Rayleigh梁构造出闭合形式的准周期Green函数？它们如何实现缺陷模态分析？

主要发现

• Rayleigh梁中的转动惯性导致色散曲线显著平坦化，尤其是在高频范围内，表明群速度降低。
• 在第二禁带中，随着转动惯性的增加，群速度与曲率符号发生反转，表明其表现出Euler–Bernoulli梁中不存在的复杂波动力学行为。
• 当转动惯性占主导地位时，会出现宽广的低频禁带，例如在质量可忽略但转动惯量非零的情况下。
• 色散方程是有理函数形式的$\cos(Kd)$，可实现对周期性系统能带结构的精确高效求解。
• 在禁带中观察到缺陷模态与局域化波形，且局域化强度随转动惯性增加而增强。
• 当预应力取特定值$P = EA$时，系统表现出非色散行为，这与偶应力材料在$J = 2\rho\ell^2$时的非色散特性类似。