[论文解读] Dispersionless integrable hierarchies and GL(2,R) geometry

E. V. Ferapontov, Boris Kruglikov|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 6

一句话总结

该论文证明了，由射影余切丛中理性正常曲线定义的对合GL(2,R)结构，受无色散可积层级（如dKP层级）的支配。关键结果是，定义对合GL(2,R)结构的Wünschmann条件系统的一般局部解依赖于2n−4个三个变量的任意函数，从而证明了这些条件的可积性。

ABSTRACT

Paraconformal or $GL(2)$ geometry on an $n$-dimensional manifold $M$ is defined by a field of rational normal curves of degree $n-1$ in the projectivised cotangent bundle $\mathbb{P} T^*M$. Such geometry is known to arise on solution spaces of ODEs with vanishing Wünschmann (Doubrov-Wilczynski) invariants. In this paper we discuss yet another natural source of $GL(2)$ structures, namely dispersionless integrable hierarchies of PDEs (for instance the dKP hierarchy). In the latter context, $GL(2)$ structures coincide with the characteristic variety (principal symbol) of the hierarchy. Dispersionless hierarchies provide explicit examples of various particularly interesting classes of $GL(2)$ structures studied in the literature. Thus, we obtain torsion-free $GL(2)$ structures of Bryant that appeared in the context of exotic holonomy in dimension four, as well as totally geodesic $GL(2)$ structures of Krynski. The latter, also known as involutive $GL(2)$ structures, possess a compatible affine connection (with torsion) and a two-parameter family of totally geodesic $α$-manifolds (coming from the dispersionless Lax equations), which makes them a natural generalisation of the Einstein-Weyl geometry. Our main result states that involutive $GL(2)$ structures are governed by a dispersionless integrable system. This establishes integrability of the system of Wünschmann conditions.

研究动机与目标

• 识别无色散可积PDE层级作为解空间上GL(2,R)结构的自然来源。
• 表明此类层级的特征曲面（主符号）与GL(2,R)结构一致。
• 确立对合GL(2,R)结构自然源自可积系统（如dKP、通用层级和Adler-Shabat三元组）。
• 通过证明其一般局部解依赖于2n−4个三个变量的任意函数，证明Wünschmann条件系统的可积性。
• 展示此类结构具有相容的仿射联络，推广Einstein-Weyl几何，并与四维中的奇异Holonomy相关联。

提出的方法

• 通过多项式1-形式ω(λ) = ω₀ + λω₁ + ⋯ + λⁿ⁻¹ωₙ₋₁参数化对合GL(2,R)结构，其中λ在PGL(2,R)下变换，ω(λ)通过缩放变换。
• 利用无色散PDE层级（如dKP）的特征曲面，通过ω(λ) = 0的零点集定义GL(2,R)结构。
• 应用自由解析技术推导对合GL(2,R)结构的相容性条件，将系统约化为形式可积的PDE系统。
• 构造与GL(2,R)结构相容的典范仿射联络（含与不含挠率），尤其关注完全测地与无挠率情形。
• 利用Lax表示和对称约化，为dKP、通用层级和Adler-Shabat三元组结构推导相容联络的显式Christoffel符号。
• 利用Lax表示生成一个两参数族的完全测地α-流形，推广Einstein-Weyl几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 无色散可积层级（如dKP层级）如何在其解空间上生成GL(2,R)结构？
• RQ2 无色散PDE层级的特征曲面与其诱导的GL(2,R)结构之间的确切关系是什么？
• RQ3 对合GL(2,R)结构能否被表征为无色散可积系统的解？若是，其函数自由度是多少？
• RQ4 源自可积层级的GL(2,R)结构是否具有相容的仿射联络？其几何性质（如挠率、Holonomy）如何？
• RQ5 Wünschmann条件的可积性如何与Lax表示及两参数族α-流形的存在性相关联？

主要发现

• 定义对合GL(2,R)结构的Wünschmann条件系统的一般局部解依赖于2n−4个三个变量的任意函数，从而证明了该系统的可积性。
• 源自无色散可积层级（如dKP）的对合GL(2,R)结构被证明受无色散可积系统支配。
• Bryant型无挠率GL(2,R)结构在四维中自然表现为dKP层级的特征曲面。
• Krynski型完全测地GL(2,R)结构源自无色散Lax方程，通过一个两参数族的完全测地α-流形推广Einstein-Weyl几何。
• 为dKP、通用层级和Adler-Shabat三元组结构推导出相容仿射联络（含与不含挠率）的显式公式，确认了其几何相容性。
• Lax表示的存在性确保存在一个两参数族的完全测地α-流形，这是推广Einstein-Weyl结构的关键几何特征。