[论文解读] Displaying Polish groups on separable Banach spaces

Valentin Ferenczi, Christian Rosendal|Institutional Repository University of Extremadura (University of Extremadura)|Oct 13, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文確立了波兰群可透過等價範數重定義，作為可分巴拿赫空間等距群的條件。證明顯示，任何包含非平凡中心對合的無限對稱群 $S_{\infty}$ 的閉子群，皆可於 $c_0$、$\ell_p$、$L_p$ 及 $C([0,1])$ 等經典空間上實現；並顯示對任一波兰群 $G$，皆存在一可分巴拿赫空間 $X$，使得 $\{-1,1\} \times G$ 可在 $X$ 上實現。

ABSTRACT

A display of a topological group G on a Banach space X is a topological isomorphism of G with the isometry group Isom(X,||.||) for some equivalent norm ||.|| on X, where the latter group is equipped with the strong operator topology. Displays of Polish groups on separable real spaces are studied. It is proved that any closed subgroup of the infinite symmetric group S_\infty containing a non-trivial central involution admits a display on any of the classical spaces c0, C([0,1]), lp and Lp for 1 <=p

研究动机与目标

• 確定一波兰群 $G$ 在某種等價範數下，何時可拓撲同構於可分巴拿赫空間 $X$ 的等距群。
• 研究巴拿赫空間的同構結構是否可由其上可實現的群來恢復。
• 透過識別 $\{-1,1\} \times G$ 在可分巴拿赫空間上可實現的充分條件，擴展 Jarosz 的猜想。
• 探討在巴拿赫空間上等距群的語境中，特徵點與特徵序列的角色。
• 檢視重定義性質（例如 LUR、幾乎可遷移範數）與等距群結構之間的互動。

提出的方法

• 定義『實現』為一拓撲忠實的線性表示 $\rho: G \to GL(X)$，使得 $\rho(G) = \mathrm{Isom}(X, \|\!\!\|\!\!\cdot\!\!\!\|\!\!\|)$，其中 $\|\!\!\|\!\!\cdot\!\!\!\|\!\!\|$ 為 $X$ 上的某種等價範數。
• 運用 Bellenot 的重定義技術，在 $c_0$ 及其他經典空間上構造等價範數，以實現所需的等距群。
• 應用圖形自同構群理論，將 $S_{\infty}$ 的子群實現為 $c_0$ 上的等距群。
• 利用巴拿赫空間中的特徵向量序列來控制等距群的作用，確保表示的忠實性。
• 運用強算子拓撲（sot）收斂性與 LUR 範數性質，排除會保留不需要等距的某些重定義。
• 利用 Megrelishvili 對弱與強算子拓撲不重合的結果，證明某些空間（例如 $C([0,1]^2)$）無法容許保留大型等距群的 LUR 重定義。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，一波兰群 $G$ 可在可分巴拿赫空間 $X$ 上實現？
• RQ2 任一具有非平凡中心對合的波兰群 $G$，是否皆可在某可分巴拿赫空間上實現？
• RQ3 是否存在一通用可分巴拿赫空間 $X$，使得對任一波兰群 $G$，皆有 $\{-1,1\} \times G$ 在 $X$ 上實現？
• RQ4 若巴拿赫空間中存在特徵點或特徵序列，是否意味其等距群必為離散或可數？
• RQ5 LUR 或幾乎可遷移等重定義性質，在多大程度上約束了巴拿赫空間的等距群結構？

主要发现

• 任何包含非平凡中心對合的 $S_{\infty}$ 之閉子群，皆可於 $c_0$、$C([0,1])$、$\ell_p$ 及 $L_p$（$1 \leq p < \infty$）上實現。
• 對任一波兰群 $G$，皆存在一可分巴拿赫空間 $X$，使得 $\{-1,1\} \times G$ 可在 $X$ 上實現。
• $\{-1,1\}$ 群可在任一實巴拿赫空間上實現，且圓群 $\mathbb{T}$ 可在任一複巴拿赫空間上實現。
• $C([0,1]^2)$ 空間無法容許等價的 LUR 範數，使其等距群包含原始等距群，這是因弱與強算子拓撲不重合所致。
• 任何保留 $L_1([0,1])$ 原始等距群的等價重定義，必為原始範數的倍數；而由於原始範數在任何地方皆非 LUR，故無此類重定義為 LUR。
• 存在可分巴拿赫空間（例如某些反射空間），其等距群在任何等價重定義下恆為緊緻李群，因而排除了可數無限等距群的可能。