[论文解读] Disproof of the List Hadwiger Conjecture

János Barát, Gwenaël Joret+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 32被引用 26

一句话总结

该论文通过构造，对每个整数 $ t \geq 1 $，构造出一个 $ K_{3t+2} $-minor-free 图，该图不是 $ 4t $-可选择的，从而否定了 List Hadwiger 猜想。构造方法使用了删除匹配的完全 $ r $-部图的粘贴，并采用定制的列表赋值以强制产生着色矛盾，证明了当 $ t \geq 8 $ 时，猜想的可选择性界是错误的，并表明弱 List Hadwiger 猜想中的常数至少为 $ 4/3 $。

ABSTRACT

The List Hadwiger Conjecture asserts that every $K_t$-minor-free graph is $t$-choosable. We disprove this conjecture by constructing a $K_{3t+2}$-minor-free graph that is not $4t$-choosable for every integer $t\geq 1$.

研究动机与目标

• 为了否定 List Hadwiger 猜想，该猜想认为每个 $ K_t $-minor-free 图都是 $ t $-可选择的。
• 为了研究 $ K_t $-minor-free 图的可选择性是否由 $ t $ 的线性函数有界，正如该猜想所暗示的那样。
• 为了确定弱 List Hadwiger 猜想中最佳可能常数 $ c $，其中 $ K_t $-minor-free 图是 $ ct $-可选择的，且 $ c \geq 1 $ 为绝对常数。
• 为了使用图粘贴和列表赋值技术，构造出 $ t \geq 8 $ 时 List Hadwiger 猜想的显式反例。

提出的方法

• 将图 $ H $ 构造为完全 $ r $-部图，具有 $ r $ 个大小为 2 的颜色类，记为 $ K_{r \times 2} $，或具有一个单点类的图，记为 $ K_{1,r\times 2} $，通过从 $ K_{2r} $ 或 $ K_{2r+1} $ 中删除一个包含 $ r $ 条边的匹配得到。
• 使用引理 3 证明 $ K_{r \times 2} $ 是 $ K_{\lfloor 3r/2 \rfloor + 1} $-minor-free，且 $ K_{1,r\times 2} $ 是 $ K_{\lfloor 3r/2 \rfloor + 2} $-minor-free。
• 在 $ H $ 上定义一个列表赋值 $ L $，使得每个 $ w_i $ 的列表为 $ [1,q+1] \setminus \{c_i\} $，其余所有顶点的列表为 $ [1,q] $，确保共有 $ q+1 $ 种颜色和 $ q+2 $ 个顶点。
• 将所有 $ q^r $ 个 $ H $ 的副本沿公共团 $ \{v_1,\dots,v_r\} $ 粘贴在一起，每个副本标记为 $ (c_1,\dots,c_r) \in [1,q]^r $，形成新图 $ G $。
• 通过应用引理 2 证明 $ G $ 是 $ K_p $-minor-free，该引理指出：将两个 $ K_t $-minor-free 图沿一个团粘贴，可保持 $ K_t $-minor-freeness。
• 证明 $ G $ 上不存在 $ L $-着色：在每个副本 $ H(c_1,\dots,c_r) $ 中，某个 $ w_i $ 必须获得与 $ v_i $ 相同的颜色，但 $ c_i \notin L(w_i) $，因此 $ v_i $ 无法被着色为 $ c_i $，从而导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 List Hadwiger 猜想声称每个 $ K_t $-minor-free 图都是 $ t $-可选择的，这一说法是否成立？
• RQ2 在弱 List Hadwiger 猜想中，是否存在最佳常数 $ c $，使得每个 $ K_t $-minor-free 图都是 $ ct $-可选择的？
• RQ3 能否构造出显式反例来否定 $ t \geq 8 $ 时的 List Hadwiger 猜想？
• RQ4 $ K_t $-minor-free 图的选择数是否随 $ t $ 线性增长，还是增长速率更高？

主要发现

• 对每个整数 $ t \geq 1 $，存在一个 $ K_{3t+2} $-minor-free 图，它不是 $ 4t $-可选择的，直接否定了 List Hadwiger 猜想。
• 对每个 $ t \geq 1 $，存在一个 $ K_{3t+1} $-minor-free 图，它不是 $ (4t - 2) $-可选择的，表明该界在弱意义下是紧的。
• 对每个 $ t \geq 1 $，存在一个 $ K_{3t} $-minor-free 图，它不是 $ (4t - 3) $-可选择的，进一步细化了反例的范围。
• 该构造证明了弱 List Hadwiger 猜想中的常数 $ c $ 必须满足 $ c \geq 4/3 $，因为 $ 4t $-可选择性不足以适用于 $ K_{3t+2} $-minor-free 图。
• 所构造的图 $ G $ 是 $ q $-退化的，意味着它是 $ (q+1) $-可选择的，但不是 $ q $-可选择的，从而确认了该界是紧的。
• 证明技术受 Mirzakhani 的非 4-可选择的平面图的启发，通过列表赋值和团粘贴技术，强制在 $ K_t $-minor-free 图中产生着色失败。