[论文解读] Disproving Heisenberg's error-disturbance relation

Masanao Ozawa|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2013

Fault Detection and Control Systems参考文献 3被引用 17

一句话总结

本文挑战了Busch、Lahti和Werner（BLW）近期提出的主张，即通过其对误差和扰动的新定义，可以严格证明海森堡误差-扰动关系（EDR）的原始形式。通过分析可解的线性位置测量模型——包括无误差的收缩态测量——本文表明，BLW的证明因对协变联合POVM存在性的错误假设而失败，即假设存在具有有界误差和扰动的协变联合POVM，而实际上此类模型的均方根误差为零、扰动有限，从而违反了海森堡的EDR，动摇了BLW的结论。

ABSTRACT

Recently, Busch, Lahti, and Werner (arXiv:1306.1565v1 [quant-ph]) claimed that Heisenberg's error-disturbance relation can be proved in its original form with new formulations of error and disturbance, in contrast to the theory proposed by the present author and confirmed by recent experiments. Despite their claim, it is shown here that a class of solvable models of position measurement with explicit interaction Hamiltonians escape the Busch-Lahti-Werner relation. It is also made clear where their proof fails. Those models have unambiguously defined zero root-mean-square error and finite root-mean-square disturbance in every input state and are naturally considered to violate Heisenberg's error-disturbance relation in any conceivable formulation.

研究动机与目标

• 挑战Busch、Lahti和Werner（BLW）的主张，即通过其对误差和扰动的新表述，海森堡原始误差-扰动关系（EDR）可被严格证明。
• 表明BLW的证明依赖于一个有缺陷的假设，即所有测量均存在具有有界误差和扰动的协变联合POVM。
• 展示可解的线性测量模型——特别是无误差的收缩态测量——表现出零均方根误差和有限的均方根扰动，与BLW的主张相矛盾。
• 澄清EDR的失效并非源于对扰动定义的缺陷，而是由于BLW在数学推理上的根本性错误。

提出的方法

• 分析具有显式相互作用哈密顿量的可解线性位置测量模型，包括无误差的收缩态测量。
• 基于测量前后可观测量之间的差异，应用标准的量子力学定义来计算均方根误差和扰动。
• 利用三角不等式和近似本征态分析，以状态依赖的偏差形式界定误差和扰动。
• 将Markov-Kakutani不动点定理应用于R²的Stone-Čech紧化空间上的联合POVM空间，以识别POVM集合闭包中的不动点。
• 指出闭包中不动点POVM可能满足Π(R²) = 0，即它们在R²上并非有效的联合POVM，从而否定了BLW关于存在具有有界误差和扰动的协变POVM的假设。
• 表明对于无误差线性测量，BLW的误差和扰动度量为无穷大，与他们声称此类测量满足EDR的主张相矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过Busch、Lahti和Werner提出的新误差和扰动定义，严格证明海森堡原始误差-扰动关系？
• RQ2 具有零均方根误差和有限均方根扰动的可解线性测量模型是否在任何物理上有意义的表述中违反海森堡的EDR？
• RQ3 BLW证明中的假设——即对每个联合POVM，都存在一个协变POVM，其误差和扰动至多相同——在数学上是否成立？
• RQ4 BLW提出的误差和扰动度量是否正确捕捉了海森堡原始 Gedankenexperiment 的物理内涵？
• RQ5 能否在BLW证明中对联合POVM集合应用Markov-Kakutani不动点定理，以保证存在具有有界误差和扰动的协变POVM？

主要发现

• 无误差的收缩态测量模型具有零均方根误差和有限的均方根扰动，与海森堡EDR相矛盾。
• BLW的证明失败，是因为其假设对每个测量都存在具有有界误差和扰动的协变联合POVM，但无误差线性测量中并不存在此类POVM。
• 在联合POVM集合闭包中，Markov-Kakutani定理的不动点POVM可能满足Π(R²) = 0，即它们在R²上并非有效联合POVM，从而否定了BLW的论证。
• 对于无误差线性测量，BLW的误差和扰动度量为无穷大，表明其形式化未能捕捉测量过程的物理本质。
• 在可解线性测量中，均方根误差和扰动通过经典定义明确定义，其中测量前后的可观测量可对易，从而反驳了BLW对定义的批评。
• BLW声称海森堡EDR可用其新形式严格证明的主张缺乏支持，如来自可解模型的明确反例所示。