[论文解读] Dissecting the snake: the transition from localized patterns to isolated spikes in pattern formation systems

Nicolás Verschueren, Alan Champneys|Explore Bristol Research|Sep 20, 2018

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文研究了一维反应-扩散系统中从多峰值局域化模式向孤立尖峰转变的机制，表明该转变通过Belyakov-Devaney跃迁发生，此时空间本征值由复数变为实数，导致在双余维数点处同时破坏无穷多组多脉冲同宿轨道。分析表明，当远场衰减由振荡性转为单调性时，同宿蛇形结构坍缩为不连通分支，该结果与广义Schakenberg模型和城市犯罪模型的数值模拟一致。

ABSTRACT

An investigation is undertaken of coupled reaction-diffusion systems in one spatial dimension that are able to support, in different regions of their parameter space, either an isolated spike solution, or stable localized patterns with an arbitrary number of peaks. The distinction between the two cases is drawn through the behavior of the far field, where there is either an oscillatory or a monotonic decay. Several examples are studied, including the Lugiato-Lefever model, a generalized Schakenberg system that arises in cellular-level morphogensis and a continuum model of urban crime spread. In each, it is found that localized patterns connected via a so-called homoclinic snaking curve in parameter space transition into a single spike solution as a second parameter is varied, via a change in topology of the snake into a series of disconnected branches. In each case, the transition is caused by a so-called Belyakov-Devaney transition between complex and real spatial eigenvalues of the fair field of the primary pulse. A codimension-two problem is studied in detail where a non-transverse homoclinic orbit undergoes this transition. A Shilnikov-style analysis is undertaken which reveals the asymptotics of how the infinite family of folds of multi-pulse orbits are all destroyed at the same parameter value. The results are shown to be consistent with numerical experiments on two of the examples.

研究动机与目标

• 理解一维反应-扩散系统中多峰值局域化模式向孤立尖峰解转变的机制。
• 分析空间本征值由复数变为实数的转变在远场衰减行为从振荡性转为单调性中的作用。
• 研究在双余维数Belyakov-Devaney点处，无穷多组多脉冲同宿轨道被破坏的机制。
• 建立同宿蛇形曲线的拓扑变化与多脉冲解失稳之间的关联。
• 通过在两个代表性模型（广义Schakenberg系统和连续城市犯罪模型）上的数值实验验证理论预测。

提出的方法

• 将稳态问题表述为在空间动力学中以x为类时间变量的四维可逆系统。
• 应用几何奇异摄动理论与Shilnikov型分析，研究涉及非横截同宿轨道的双余维数分歧点附近的系统行为。
• 分析均匀平衡点的空间本征值由复数变为实数的转变，识别Belyakov-Devaney条件为关键机制。
• 推导多脉冲轨道折叠位置的渐近表达式，表明当ε → 0时，其在主脉冲折叠点附近呈指数聚集。
• 利用数值延续方法验证理论预测：同宿蛇形结构坍缩为不连通分支。
• 在两个物理模型间进行比较：一个用于细胞形态发生建模的反应-扩散系统，以及一个城市犯罪传播模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 远场衰减由振荡性转为单调性如何影响局域化模式系统中同宿蛇形结构的特征？
• RQ2 Belyakov-Devaney跃迁在多脉冲同宿轨道破坏过程中起什么作用？
• RQ3 为何无穷多组多脉冲解的折叠点会在单一参数值处同时坍缩？
• RQ4 当系统通过双余维数分歧点时，同宿蛇形曲线的拓扑结构如何变化？
• RQ5 多脉冲解折叠位置的理论渐近表达式在真实模式形成系统中与数值计算的吻合程度如何？

主要发现

• Belyakov-Devaney跃迁（空间本征值由复数变为实数）触发了同宿蛇形结构向不连通分支的坍缩。
• 在双余维数点处，无穷多组多脉冲同宿轨道的所有折叠点同时被破坏，且其ν值随ε → 0而指数收敛至主脉冲的ν值。
• Shilnikov分析预测了ν < 0时多脉冲轨道的渐近分离速率，并在广义Schakenberg模型和城市犯罪模型中均得到数值验证。
• 该转变的特征是远场行为的变化：振荡衰减（局域化模式）被单调衰减（孤立尖峰）取代，从而改变全局分歧结构。
• 数值实验表明，当系统通过Belyakov-Devaney点时，同宿蛇形曲线断裂为不连通的孤立分支，与理论预测一致。
• 该机制具有鲁棒性，并在多个系统中被观察到，包括含对称性破缺项的Schnakenberg型模型和Lugiato-Lefever方程，表明其具有广泛适用性。