[论文解读] Dissipative operators in Krein Space: invariant subspaces and properties of restrictions

Андрей Андреевич Шкаликов|ArXiv.org|Jan 15, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 4

一句话总结

本文在远弱于经典 Langer 条件的条件下，建立了 Kreín 空间中耗散算子的最大非负不变子空间的存在性。证明了该算子在该子空间上的限制具有位于开左半平面的谱，并给出了该限制生成全纯或 $C_0$-半群的充分条件，从而推广了 Pöntryagin、Langer 和 Azizov 的早期结果。

ABSTRACT

We prove that a dissipative operator in Krein space possesses a maximal non-negative invariant subspace provided that this operator admits matrix representation with respect to canonical decomposition of the space and the right upper entry of the operator matrix is relatively compact with respect to the right lower entry. Under additional condition when the left upper and left lower operators are bounded (the so-called "Langer condition") this result was proved (in the increasing order of generality) by Pontryagin, Krein, Langer, and Azizov. The Langer condition is replaced in the paper by a much weaker condition. We also prove: if a dissipative operator $A$ in Krein space is maximal then there exists a maximal non-negative invariant subspace $\mathcal L_+$ such that the spectrum of the restriction $A_+ = A|_{\mathcal L_+}$ lies in the closed left half-plane. We found sufficient conditions in terms of the entries of $A$ which garantee that $A_+$ is the generator of a holomorphic or $C_0$-semigroup.

研究动机与目标

• 将经典的最大非负不变子空间存在性结果从受限的 Langer 条件推广至 Kreín 空间中耗散算子的更广泛情形。
• 确立该不变子空间上算子限制的谱位于开左半平面。
• 推导出该限制算子生成全洁或 $C_0$-半群的充分条件。
• 用关于矩阵表示中非对角块的较弱紧致性条件，替代 Langer 条件中的有界性假设。
• 在不定度量空间中耗散算子的背景下，统一并扩展 Pöntryagin、Langer 和 Azizov 的先前结果。

提出的方法

• 利用由典范对称 $J$ 导出的典范分解 $\mathcal{H} = \mathcal{H}^+ \oplus \mathcal{H}^-$，将算子 $A$ 表示为块 $A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$ 的 $2 \times 2$ 矩阵。
• 施加弱于 Langer 条件的条件：非对角块 $A_{12} = P_+ A P_-$ 是紧算子，而 $A_{11}$ 和 $A_{22}$ 不一定有界。
• 在 Kreín 空间结构下，应用 $J$-耗散算子的谱理论与预解估计。
• 通过 $S$-函数与预解估计的概念，分析限制算子的生成元性质。
• 利用等式 $S(\mu) - \alpha = [1 - G(\mu)A_{12}(A_{11} - \alpha)^{-1}](A_{11} - \alpha)$ 推导出一致的预解估计界。
• 通过验证右半平面上一致的预解增长估计，应用全纯与 $C_0$-半群理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱于 Langer 条件的假设下，Kreín 空间中 $J$-耗散算子是否存在最大非负不变子空间？
• RQ2 该算子在最大非负不变子空间上的限制的谱位于何处？
• RQ3 在何种条件下，该算子在子空间上的限制生成全纯或 $C_0$-半群？
• RQ4 能否用矩阵表示中非对角块的更弱紧致性假设替代经典 Langer 条件？
• RQ5 限制算子的谱性质与半群生成性质如何与原始 $J$-耗散算子的结构相关？

主要发现

• 本文证明了在 $A_{12} = P_+ A P_-$ 为紧算子的条件下，Kreín 空间中 $J$-耗散算子 $A$ 存在最大非负 $A$-不变子空间 $\mathcal{L}$。
• 限制算子 $A|_{\mathcal{L}}$ 的谱位于开左半平面 $\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} \lambda < 0\}$。
• 若算子 $A_{11}$ 生成全纯半群且 $A_{12}$ 为紧算子，则 $A|_{\mathcal{L}}$ 生成全纯半群。
• 通过一致预解估计导出限制算子生成 $C_0$-半群的充分条件：$\|(S(\mu) - \alpha)^{-1}\| \leq C|\alpha|^{-1}$，其中 $\operatorname{Re} \alpha \geq \varepsilon$。
• 证明表明，条件 $\|G(\mu)\| < 1/(2C(\varepsilon))$ 可确保预解估计，从而蕴含全纯半群的生成。
• 本结果通过将 $A_{11}$ 与 $A_{22}$ 的有界性假设替换为 $A_{12}$ 的更弱紧致性条件，推广了 Pöntryagin、Langer 和 Azizov 的先前定理。