[论文解读] Dissipative Quantum Mechanics: The Generalization of the Canonical Quantization and von Neumann Equation

Vasily E. Tarasov|ArXiv.org|Oct 5, 1994

Computational Physics and Python Applications参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过引入一个非结合、非李代数的算符 W，提出了一种广义的哈密顿规范量子化框架，以扩展海森伯代数。该方法在保持正则对易关系的同时，允许耗散系统兼容的量子运动方程，从而导出与经典耗散刘维尔动力学一致的修正冯诺依曼方程。

ABSTRACT

The dissipative models in string theory can have more broad range of application: 1) Noncritical strings are dissipative systems in the "coupling constant" phase space. 2) Bosonic string in the affine-metric curved space is dissipative system. But the quantum descriptions of the dissipative systems have well known ambiguities. In order to solve the problems of the quantum description of dissipative systems we suggest to introduce an operator W in addition to usual (associative) operators. The suggested operator algebra does not violate Heisenberg algebra because we extend the canonical commutation relations by introducing an operator W of the nonholonomic quantities in addition to the usual (associative) operators of usual (holonomic) coordinate -momentum functions. To satisfy the generalized commutation relations the operator W must be nonassociative nonLieble (does not satisfied the Jacobi identity) operator. As the result of these properties the total time derivative of the multiplication and commutator of the operators does not satisfies the Leibnitz rule. This lead to compatibility of quantum equations of motion for dissipative systems and canonical commutation relations. The suggested generalization of the von Neumann equation is connected with classical Liouville equation for dissipative systems.

研究动机与目标

• 解决耗散系统量子描述中长期存在的模糊性问题。
• 将规范量子化从结合代数推广至包含非完整度的自由度。
• 保持量子运动方程与广义对易关系之间的一致性。
• 推导出与经典耗散刘维尔动力学兼容的修正冯诺依曼方程。
• 为非临界弦和弯曲空间玻色弦等系统提供适用的数学框架。

提出的方法

• 引入一个非结合、非李代数的算符 W，以扩展坐标与动量算符的标准海森伯代数。
• 通过添加代表非完整（不可积）自由度的算符 W，修改正则对易关系。
• 由于非结合性，算符乘积与对易子的全时导数不再满足莱布尼茨法则。
• 构建一个广义的冯诺依曼方程，使其与修改后的对易关系保持一致。
• 建立广义量子动力学与耗散系统经典刘维尔方程之间的联系。
• 利用该框架描述非临界弦和仿射度量弯曲空间中的玻色弦等耗散系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何广义化规范量子化，以一致地描述耗散量子系统？
• RQ2 何种代数结构可在保持正则对易关系的同时容纳耗散？
• RQ3 算符 W 的非结合性如何影响量子可观测量的时间演化？
• RQ4 能否推导出与耗散经典动力学兼容的修正冯诺依曼方程？
• RQ5 该形式化对非临界弦或弯曲空间弦等弦论模型有何影响？

主要发现

• 引入非结合、非李代数的算符 W 允许在不违反标准海森伯代数的前提下，对耗散系统进行一致的量子化。
• 由于 W 的非结合性，算符乘积与对易子的全时导数不再满足莱布尼茨法则，从而实现与耗散动力学的兼容性。
• 推导出广义的冯诺依曼方程，并证明其与耗散系统经典刘维尔方程一致。
• 该形式化适用于非临界弦和仿射度量弯曲空间中的玻色弦等物理系统，这些系统在耦合常数相空间中被识别为耗散系统。
• 通过将算符代数扩展至结合结构之外，该框架解决了耗散量子描述中的模糊性问题。
• 该方法为标准规范量子化因对称性破缺或能量不守恒而失效的系统，提供了数学上一致的量子化路径。