[论文解读] Dissipativity and optimal control

Lars Grüne|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2021

Advanced Control Systems Optimization参考文献 72被引用 4

一句话总结

本文建立了严格耗散性与最优控制之间的基础性联系，证明了严格耗散性可确保turnpike性质——即最优轨迹在大部分时间接近稳态——从而在模型预测控制（MPC）中实现稳定性与性能保证。关键贡献在于表明，当采用线性存储函数时，严格耗散性可实现基于李雅普诺夫的稳定性分析，并在MPC方案中实现最优瞬态与平均成本近似。

ABSTRACT

The close link between dissipativity and optimal control is already apparent in Jan C. Willems' first papers on the subject. In recent years, research on this link has been revived with a particular focus on nonlinear problems and applications in model predictive control (MPC). This paper surveys these recent developments and some of Willems' and other authors' earlier results.

研究动机与目标

• 阐明耗散性与最优控制之间的理论联系，特别是在模型预测控制（MPC）背景下的关系。
• 证明严格耗散性可导致turnpike性质，即最优轨迹在大部分时间范围内保持在稳态附近。
• 通过利用耗散性与turnpike现象，将MPC方案的稳定性与性能分析拓展至无需终端条件的情形。
• 统一并综述近期关于耗散性、可检测性与最优控制在离散与连续时间下联系的进展。
• 识别将这些结果推广至无限维系统与随机最优控制问题中的开放问题。

提出的方法

• 使用带存储函数 λ(x) 和供需率 s(x,u) 的严格耗散性概念，推导出MPC闭环稳定性的李雅普诺夫函数。
• 在MPC中应用强对偶性，证明当采用线性存储函数时，严格耗散性可产生李雅普诺夫函数，从而确保渐近稳定性。
• 建立严格耗散性与可控制性条件共同蕴含turnpike性质，即轨迹在大部分时间保持接近最优平衡点。
• 推导出无需终端条件的MPC性能边界，表明闭环代价受最优瞬态代价加上误差项 δ₁(T) 与 δ₂(S) 的限制。
• 利用turnpike性质证明，即使在无终端约束的情况下，MPC仍能实现近似最优的平均代价与瞬态代价。
• 通过采用超越最优性（overtaking optimality）将该框架扩展至时变与周期性最优轨迹，从而将适用范围从平衡点情形推广至更广泛场景。

实验结果

研究问题

• RQ1 严格耗散性如何与模型预测控制（MPC）方案的稳定性与性能相关联？
• RQ2 在最优控制中，何种条件可确保turnpike性质，其与严格耗散性有何关联？
• RQ3 能否利用耗散性与turnpike性质建立无终端条件MPC的性能边界？
• RQ4 严格耗散性与非线性系统中经典可检测性概念有何关联？
• RQ5 基于耗散性的分析在多大程度上可推广至无限维系统与随机最优控制问题？

主要发现

• 当采用线性存储函数时，严格耗散性等价于MPC中的强对偶性，从而实现基于李雅普诺夫的稳定性分析。
• 当严格耗散性与可控制性条件同时成立时，turnpike性质出现，确保最优轨迹在大部分时间范围内保持在稳态附近。
• 对于无终端条件的MPC，平均代价满足 $\overline{J}^{MPC}_{\infty}(x_0) \leq \ell(x^e,u^e) + \delta_1(T)$，其中 $\delta_1(T)$ 随 $T$ 增大而衰减。
• 无终端条件MPC的瞬态代价受 $J^{MPC}_S(x_0) \leq \inf_{u\in\widetilde{\mathbb{U}}^S} J_S(x_0) + S\delta_1(T) + \delta_2(S)$ 限制，其中 $\delta_1(T)$ 与 $\delta_2(S)$ 为误差项。
• 对于正定阶段代价，$J^{MPC}_\infty(x_0)$ 即使在无终端条件时仍保持有界，且随着时域 $T$ 增大，性能边界更优。
• 瞬态代价边界中的因子 $S\delta_1(T)$ 反映了当闭环系统未收敛至平衡点时残余阶段代价的累积，这是实际渐近稳定性的自然结果。