[论文解读] Distance between natural numbers based on their prime signature

István Kolossváry, István T. Kolossváry|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文通过自然数的素数记号的 ℓ∞-范数引入了一种新的度量，基于素因数分解中最大指数差定义距离。它建立了具有有界素数记号范数的连续自然数的渐近密度公式，并证明了连续自然数之间平均距离收敛于一个有限期望，从而得出修正的素数定理，并揭示了比经典观测更丰富的素数间隔结构。

ABSTRACT

We define a new metric between natural numbers induced by the $\ell_\infty$ norm of their unique prime signatures. In this space, we look at the natural analog of the number line and study the arithmetic function $L_\infty(N)$, which tabulates the cumulative sum of distances between consecutive natural numbers up to $N$ in this new metric. Our main result is to identify the positive and finite limit of the sequence $L_\infty(N)/N$ as the expectation of a certain random variable. The main technical contribution is to show with elementary probability that for $K=1,2$ or $3$ and $\omega_0,\ldots,\omega_K\geq 2$ the following asymptotic density holds $$ \lim_{n o\infty}\frac{\big|\big\{M\leq n:\; \|M-j\|_\infty <\omega_j ext{ for } j=0,\ldots,K \big\}\big|}{n} = \prod_{p:\, \mathrm{prime}}\! \bigg( 1- \sum_{j=0}^K\frac{1}{p^{\omega_j}} \bigg)~. $$ This is a generalization of the formula for $k$-free numbers, i.e. when $\omega_0=\ldots=\omega_K=k$. The random variable is derived from the joint distribution when $K=1$. As an application, we obtain a modified version of the prime number theorem. Our computations up to $N=10^{12}$ have also revealed that prime gaps show a considerably richer structure than on the traditional number line. Moreover, we raise additional open problems, which could be of independent interest.

研究动机与目标

• 通过自然数的素数记号的 ℓ∞-范数定义一种新颖的自然数度量，使其在无限维素数网格上具有数论性质的几何解释。
• 研究累积距离函数 L∞(N)，即此新度量下传统数轴的类比，分析其渐近增长。
• 推导随机 N 下对 (∥N∥∞, ∥N−1∥∞) 的极限分布，确定连续自然数之间距离的期望。
• 将 k-自由数的渐近密度推广至具有有界素数记号范数的连续数的联合分布。
• 揭示在此新度量下素数间隔的更深层次结构模式，表明其算术行为比标准数轴更丰富。

提出的方法

• 将自然数的素数记号定义为素因数分解中指数的无限序列，将自然数嵌入以素数为索引的无限维网格中。
• 将两个数之间的 ℓ∞-范数（切比雪夫距离）定义为它们素数记号指数绝对差的最大值。
• 将累积距离函数定义为 L∞(N) = ∑_{M=2}^N d∞(M, M−1) = ∑_{M=2}^N max{∥M∥∞, ∥M−1∥∞}，模拟在素数网格上的“数列轨迹”。
• 建立一个关键的渐近密度结果：lim_{n→∞} |{M ≤ n : ∥M∥∞ < ω₀, ∥M−1∥∞ < ω₁}| / n = ∏_{p prime} (1 − 1/p^{ω₀} − 1/p^{ω₁})，推广了 k-自由数的密度。
• 使用初等概率和对素数的容斥原理，证明在有界记号范数下连续数的联合渐近密度。
• 推导随机向量 (∥N_n∥∞, ∥N_n−1∥∞) 在 n → ∞ 时的极限分布，表明其依分布收敛于一个具有特定联合 PMF 的离散随机变量 (X₀, X₁)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的 ω₀, ω₁ ≥ 2，满足 ∥M∥∞ < ω₀ 且 ∥M−1∥∞ < ω₁ 的自然数 M ≤ n 的渐近密度是多少？
• RQ2 在素数记号的 ℓ∞-范数下，连续自然数之间平均距离的极限行为如何？
• RQ3 与经典数轴相比，此新度量下素数间隔的分布有何变化？
• RQ4 能否表征 (∥N∥∞, ∥N−1∥∞) 的联合分布，其期望值是多少？
• RQ5 此新度量是否产生修正版的素数定理？若是，其形式如何？

主要发现

• 满足 ∥M∥∞ < ω₀ 且 ∥M−1∥∞ < ω₁ 的数 M ≤ n 的渐近密度收敛于 ∏_{p prime} (1 − 1/p^{ω₀} − 1/p^{ω₁})，推广了已知的 k-自由数密度。
• 极限 lim_{N→∞} L∞(N)/N 存在且为正有限值，等于 max{X₀, X₁} 的期望，其中 (X₀, X₁) 是 (∥N∥∞, ∥N−1∥∞) 的极限联合分布。
• 极限分布由素数上的欧拉乘积公式导出的联合概率质量函数表征。
• 本文揭示，在此度量下素数间隔表现出比经典数轴更复杂且更具结构性的行为，暗示了新的算术现象。
• 该方法导出了一个修正的素数定理：由新度量定义的区间中素数的密度与 k-自由数的 ζ(2)−1 不同，新常数由联合分布导出。
• 计算结果至 N = 10¹² 确认了 L∞(N)/N 收敛于理论极限，并揭示了在此新度量下素数间隔分布的非平凡模式。