[论文解读] Distance Between Sets - A survey

Aura Conci, Carlos S. Kubrusly|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Image Retrieval and Classification Techniques参考文献 17被引用 23

一句话总结

本综述全面概述了度量空间和测度空间中集合间距离函数的研究，重点聚焦于Hausdorff族以及Fréchet–Nikodým–Aronszajn与Markzewiski–Steinhaus等测度理论距离。它对15种Hausdorff变体进行了分类，并回顾了其在图像处理、模式识别和目标分析中的应用，强调了在实际应用中稳定性与计算开销之间的权衡。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to give a survey on the notions of distance between subsets either of a metric space or of a measure space, including definitions, a classification, and a discussion of the best-known distance functions, which is followed by a review on applications used in many areas of knowledge, ranging from theoretical to practical applications.

研究动机与目标

• 系统性地对度量空间和测度空间中子集之间的距离函数进行分类与定义。
• 分析Hausdorff距离及其15种变体的理论性质与实际限制。
• 在测度理论背景下回顾Fréchet–Nikodým–Aronszajn距离与Markzewiski–Steinhaus距离。
• 综述集合距离在计算几何、图像处理和模糊集理论中的应用。
• 比较不同距离度量在实际模式识别任务中鲁棒性与敏感性的差异。

提出的方法

• 将距离函数分为两大类：基于度量的Hausdorff型与基于测度空间性质的测度理论型。
• 提出Hausdorff距离的四种等价表述形式，并通过逐步修改分析其15种变体。
• 基于测度理论原理，定义Fréchet–Nikodým–Aronszajn距离及其归一化形式——Markzewiski–Steinhaus距离。
• 利用伪度量与商空间构造方法，将非度量距离与等价度量空间关联。
• 将距离函数应用于图像与目标分析，包括平移、旋转以及对称性感知的变体。
• 通过合成图像与真实图像评估性能，尤其在人脸匹配与目标识别任务中。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hausdorff型与测度理论距离在集合之间的关键理论差异是什么？
• RQ2 Hausdorff距离的15种变体在图像处理应用中的敏感性与稳定性有何不同？
• RQ3 非Hausdorff型与非对称距离在目标匹配与形状识别中以何种方式提升性能？
• RQ4 在有限集或可测集背景下，Fréchet–Nikodým–Aronszajn与Markzewiski–Steinhaus等测度理论距离与基于度量的距离相比如何？
• RQ5 在实际图像分析任务中，使用标准Hausdorff距离存在哪些计算与实际限制？

主要发现

• Hausdorff距离在理论上具有吸引力，但在实际应用中因对图像处理中的异常值与噪声高度敏感而表现不稳定。
• 在图像比较任务中，$ h_p' $（当 $ p=2 $ 时）以及基于 $ ilde{ ho} $ 的度量比标准Hausdorff距离更具鲁棒性。
• 在24种测试的Hausdorff族组合中，根据Dubuisson与Jain（1994）的研究，$ h_0' $ 在真实图像比较中表现最佳。
• Hausdorff距离的非对称变体（如 $ h_1' $）通过惩罚大重叠区域，提升了判别能力，从而改善了目标匹配性能。
• 用于在平移与刚体运动下计算最小Hausdorff距离的算法已成功应用于真实图像数据，尤其在人脸检测与运动追踪任务中表现优异。
• 通过Fréchet–Nikodým–Aronszajn与Markzewiski–Steinhaus距离的测度理论方法，在有限集或计数测度设定下提供了稳定替代方案，尤其适用于模糊集或离散集。