[论文解读] Distance between subspaces of different dimensions

Ke Ye, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 41被引用 24

一句话总结

本文通过利用格拉斯曼流形的代数几何，提出了一种统一的、内在的距离度量方法，用于度量不同维数子空间之间以及仿射子空间之间的距离。该方法通过主角和主向量推广了标准的格拉斯曼距离，实现了稳定且无需嵌入的计算，适用于数据科学与几何中的各类子空间比较任务。

ABSTRACT

We resolve two problems regarding subspace distances that have arisen considerably often in applications: How could one define a notion of distance between (i) two linear subspaces of different dimensions, or (ii) two affine subspaces of the same dimension, in a way that generalizes the usual Grassmann distance between equidimensional linear subspaces? We show that (i) is the distance of a point to a Schubert variety, and (ii) is the distance in the Grassmannian of affine subspaces, both regarded as subvarieties in the Grassmannian. Combining (i) and (ii) yields a notion of distance between (iii) two affine subspaces of different dimensions. Aside from reducing to the usual Grassmann distance when the subspaces in (i) are equidimensional or when the affine subspaces in (ii) are linear subspaces, these distances are intrinsic and do not depend on any embedding. Furthermore, they may all be written down as concrete expressions involving principal angles and principal vectors, and are efficiently computable in numerical stable ways. We show that our results are largely independent of the Grassmann distance --- if desired, it may be substituted by any other common distance between subspaces. Central to our approach to these problem is a concrete algebraic geometric view of the Grassmannian that parallels the differential geometric perspective that is now well-established in applied and computational mathematics. A secondary goal of this article is to demonstrate that the basic algebraic geometry of Grassmannian can be just as accessible and useful to practitioners.

研究动机与目标

• 定义不同维数线性子空间之间的距离，解决应用数学中该问题缺乏标准解法的难题。
• 将子空间距离的概念扩展至同维数的仿射子空间，将格拉斯曼距离推广至非线性子空间之外。
• 将上述两种情形统一于单一框架中，同时处理不同维数的仿射子空间之间的距离。
• 确保所提出的距离度量具有内在性、无需嵌入，并通过主角和主向量实现计算上的稳定性。
• 证明格拉斯曼流形的代数几何方法对应用研究者而言既易于理解又具有实际应用价值。

提出的方法

• 将不同维数子空间之间的距离建模为点到格拉斯曼流形中一个施伯雷特簇（Schubert variety）的距离。
• 将同维数仿射子空间之间的距离表述为仿射子空间格拉斯曼流形内的距离，将其视为子簇处理。
• 利用主角和主向量以闭式表达所有距离，实现数值稳定性和高效计算。
• 证明当子空间为等维数且线性时，所提距离退化为标准的格拉斯曼距离。
• 采用格拉斯曼流形的代数几何视角来构建整个方法，与既有的微分几何视角并行。
• 证明该框架在将格拉斯曼距离替换为其他常见子空间距离时仍保持有效，增强灵活性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在广义化格拉斯曼距离的前提下，为两个不同维数的线性子空间定义有意义的距离？
• RQ2 格拉斯曼距离应如何推广至同维数的仿射子空间？
• RQ3 能否构建一个统一的距离度量，同时处理不同维数的线性与仿射子空间？
• RQ4 如何利用主角和主向量等几何不变量，实现此类距离的稳定且高效计算？
• RQ5 格拉斯曼流形的代数几何方法在多大程度上可被应用研究者所理解并实际使用？

主要发现

• 不同维数子空间之间的距离被定义为点到格拉斯曼流形中施伯雷特簇的距离，提供了几何上合理的广义化。
• 同维数仿射子空间之间的距离被表述为仿射子空间格拉斯曼流形内的距离，保持了内在的几何结构。
• 所提距离度量具有内在性，不依赖于任何嵌入到更大空间的设定，确保了鲁棒性与一致性。
• 所有距离均可通过主角和主向量显式计算，支持稳定数值评估。
• 当格拉斯曼距离被替换为其他常见子空间距离时，该框架依然有效，增强了灵活性。
• 证明了格拉斯曼流形的代数几何方法在理论上坚实且对应用研究具有实际可及性。