[论文解读] Distance domination, guarding and vertex cover for maximal outerplanar graph

Santiago Canales, Gregorio Hernández Peñalver+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文引入並形式化了最大外平面圖中2距離守衛、2距離支配與2距離點覆蓋的概念，確立了緊緻的界限：2距離守衛數與2距離支配數皆為 ⌊n/5⌋，而2距離點覆蓋數則為 ⌊n/4⌋（對於任意n頂點的最大外平面圖）。

ABSTRACT

This paper discusses a distance guarding concept on triangulation graphs, which can be associated with distance domination and distance vertex cover. We show how these subjects are interconnected and provide tight bounds for any n-vertex maximal outerplanar graph: the 2d-guarding number, g_{2d}(n) = n/5; the 2d-distance domination number, gamma_{2d}(n) = n/5; and the 2d-distance vertex cover number, beta_{2d}(n) = n/4.

研究动机与目标

• 將三角剖分圖中的距離守衛概念形式化，特別是針對最大外平面圖。
• 為最大外平面圖中的2距離守衛、2距離支配與2距離點覆蓋確立緊緻的組合界限。
• 展示此類圖中距離守衛、距離支配與距離點覆蓋之間的相互作用與等價關係。
• 提供這三個基於距離的圖形參數的緊緻上下界，且在漸近意義上為最佳。

提出的方法

• 將2d守衛形式化為一組頂點，使其能以距離2覆蓋三角剖分平面圖的所有有界面。
• 定義2d距離支配為一集合D，使得每個頂點皆與D中某個頂點的距離不超過2。
• 引入2d距離點覆蓋為一集合C，使得每條邊皆與C中某個頂點的距離不超過2。
• 利用內部邊將最大外平面圖進行結構分解，轉化為較小的子圖。
• 基於頂點數量進行數學歸納，根據子圖中外部邊的數量分析不同情況。
• 利用最大外平面圖的幾何與組合性質，包括分離邊所形成的五邊形與三角形。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大外平面圖中2距離守衛數的緊緻界限為何？
• RQ2 在此類圖中，2距離支配數與2距離點覆蓋數與2距離守衛數之間有何關係？
• RQ3 能否為最大外平面圖中的這三個基於距離的參數（守衛、支配、點覆蓋）確立緊緻界限？
• RQ4 這些界限是否可推廣至最大外平面圖以外的一般三角剖分圖？
• RQ5 這些參數在更高距離（例如3距離）下於此類圖中表現為何？

主要发现

• 任意n頂點的最大外平面圖之2d守衛數精確為 ⌊n/5⌋。
• 任意n頂點的最大外平面圖之2d距離支配數精確為 ⌊n/5⌋。
• 任意n頂點的最大外平面圖之2d距離點覆蓋數精確為 ⌊n/4⌋。
• 2d距離點覆蓋的上界 ⌊n/4⌋ 為緊緻，如透過構造顯示每條粗線邊皆需獨立的守衛。
• 2d守衛與2d距離支配的界限亦為緊緻，且有構造達成 ⌊n/5⌋ 的下界。
• 結果顯示，這三種概念在三角剖分圖中，特別是在最大外平面圖中，具有深刻的內在關聯。