[论文解读] Distance Hereditary Graphs and the Interlace Polynomial

Joanna A. Ellis-Monaghan, Irasema Sarmiento|ArXiv.org|Apr 4, 2006

Algorithms and Data Compression参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文通过中线图建立顶点零度互扰多项式与图 Tutte 多项式之间的联系，证明了在一般情况下计算互扰多项式是 #P-难的。它识别出二分距离遗传图作为可解类，该类图的多项式可在多项式时间内计算，并通过 γ 不变量进行刻画——具体而言，它们满足 γ = 2，这与通过 β = 1 刻画的串联-并联图类似。

ABSTRACT

The vertex-nullity interlace polynomial of a graph, described by Arratia, Bollobás and Sorkin as evolving from questions of DNA sequencing, and extended to a two-variable interlace polynomial by the same authors, evokes many open questions. These include relations between the interlace polynomial and the Tutte polynomial and the computational complexity of the vertex-nullity interlace polynomial. Here, we prove that the one-variable vertex-nullity interlace polynomial is in general #P-hard to compute. We also show a relation between the two-variable interlace polynomial and the topological Tutte polynomial of Bollobás and Riordan. We define the γinvariant as the coefficient of x^1 in the vertex-nullity interlace polynomial, analogously to the βinvariant, which is the coefficient of x^1 in the Tutte polynomial. We then turn to distance hereditary graphs, and show that graphs in this class have γinvariant of 2^{n+1} when n true twins are added in their construction. We furthermore show that bipartite distance hereditary graphs are exactly the class of graphs with γinvariant 2, just as the series-parallel graphs are exactly the class of graphs with βinvariant 1. In addition, we show that a bipartite distance hereditary graph arises precisely as the circle graph of any Euler circuit in the oriented medial graph of a series-parallel graph. From this we conclude that the vertex-nullity interlace polynomial is polynomial time to compute for bipartite distance hereditry graphs, just as the Tutte polynomial is polynomial time to compute for series-parallel graphs.

研究动机与目标

• 通过中线图构造方法，澄清顶点零度互扰多项式与经典 Tutte 多项式之间的关系。
• 研究顶点零度互扰多项式的计算复杂性，证明其在一般情况下为 #P-难。
• 识别一个非平凡的图类，使得该类图的互扰多项式可在多项式时间内计算。
• 通过 γ 不变量（q_N 中 x¹ 的系数）对图进行刻画，类比于 Tutte 多项式中的 β 不变量。
• 建立二分距离遗传图与串联-并联图的定向中线图中欧拉回路的圆图之间的结构联系。

提出的方法

• 利用平面图的中线图构造方法，在 x = y 时将顶点零度互扰多项式与 Tutte 多项式关联起来。
• 应用双变量互扰多项式，并通过相同的中线图框架将其与 Bollobás 和 Riordan 的拓扑 Tutte 多项式关联。
• 将 γ 不变量定义为顶点零度互扰多项式中 x¹ 的系数，类比于 Tutte 多项式中的 β 不变量。
• 通过悬挂点与真孪点的构造过程刻画距离遗传图，并计算当在构造序列中添加 n 个真孪点时，γ 不变量为 2^{n+1}。
• 证明二分距离遗传图恰好是满足 γ = 2 的图类，利用从定向中线图的欧拉回路导出的圆图结构。
• 利用距离遗传图的多项式时间识别方法，以及已知的串联-并联图的 Tutte 多项式可在多项式时间内计算的事实，证明二分距离遗传图的 q_N 多项式可多项式时间计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于平面图，顶点零度互扰多项式与经典 Tutte 多项式之间有何关系？
• RQ2 计算顶点零度互扰多项式的计算复杂性如何？它是否对所有图都保持 #P-难？
• RQ3 是否存在非平凡的图类，使得顶点零度互扰多项式可在多项式时间内计算？
• RQ4 γ 不变量（q_N 中 x¹ 的系数）能否用于刻画一个有意义的图类，类比于 Tutte 多项式中的 β 不变量？
• RQ5 二分距离遗传图与串联-并联图的定向中线图中欧拉回路的圆图之间存在何种结构关系？

主要发现

• 顶点零度互扰多项式在一般情况下计算是 #P-难的，因为它通过中线图与 Tutte 多项式相关联，而 Tutte 多项式已知为 #P-难。
• 对于平面图，顶点零度互扰多项式满足 q_N(G;x) = t(G;x,x)，其中 t(G;x,y) 是 Tutte 多项式，从而在两者之间建立了直接联系。
• 双变量互扰多项式通过中线图构造与 Bollobás 和 Riordan 的拓扑 Tutte 多项式相关联。
• 当在构造序列中添加 n 个真孪点时，距离遗传图的 γ 不变量为 2^{n+1}，显示出精确的代数刻画。
• 二分距离遗传图恰好是满足 γ = 2 的图类，这与通过 β = 1 刻画的串联-并联图类似。
• 二分距离遗传图恰好是串联-并联图的定向中线图中欧拉回路的圆图，从而使得该类图的顶点零度互扰多项式可多项式时间计算。