[论文解读] Distance matrices, random metrics and Urysohn space

Анатолий Моисеевич Вершик|ArXiv.org|Mar 1, 2002

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文引入距离矩阵的凸锥作为研究波兰空间的通用框架，证明了典型元素对应于乌里松空间——一个通用且均匀的度量空间。它确立了矩阵分布——在锥上关于 $S_{\infty}$ 不变的遍历测度——作为具有博雷尔概率测度的度量空间在保测度等距同构下的完全不变量，从而定义了一类新的自然数上的随机度量。

ABSTRACT

We introduce an universum of the Polish (=complete separable metric) space - the convex cone of distance matrices and study its geometry. It happened that the generic Polish spaces in this sense of this universum is so called Urysohn spaces defined by P.S.Urysohn in 20-th, and generic metric triple (= metric space with probability borel measure) is also Urysohn space with non-degenerated measure. We prove that the complete invariant of the metric space with measure up to measure preserving isometries is so called matrix distribution - invarinat and ergodic measure with respect to infinite symmetric group which is concentrated on the cone of distance matrices. This defined an important new class of random matrices and family of random metrics on the naturals.

研究动机与目标

• 开发一个使用距离矩阵凸锥的波兰空间分类的通用框架。
• 在该锥中刻画波兰空间的典型性质，表明乌里松空间是典型的。
• 在保测度等距同构下，为具有博雷尔概率测度的度量空间定义完全不变量——矩阵分布。
• 通过距离矩阵锥上的不变测度构造自然数上的随机度量。
• 探索距离矩阵锥的几何与拓扑结构及其与通用度量结构的关系。

提出的方法

• 将距离矩阵空间 $\cal R$ 定义为具有零对角线元素并满足三角不等式的无限实对称矩阵的凸锥。
• 在锥 $\cal R$ 上赋予弱拓扑，并通过其有限维投影 $\cal R_n$ 和这些投影上的纤维丛分析其结构。
• 通过在纤维 $A(r)$ 上使用条件测度，利用闵可夫斯基和与 $\mathbb{R}_+^n$ 上的连续基测度 $\gamma$ 的乘积测度，对 $\cal R$ 上的测度进行递归构造。
• 应用柯尔莫哥洛夫延拓定理，从有限维投影 $\nu_n$ 构造出 $\cal R$ 上的一致概率测度 $\nu$。
• 将矩阵分布定义为 $\cal R$ 上关于 $S_{\infty}$ 不变的遍历测度，作为度量三元组（具有博雷尔概率测度的度量空间）的完全不变量。
• 该构造确保 $\nu$-几乎处处的矩阵在完成之后生成乌里松空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当通过距离矩阵的视角观察时，波兰空间的通用结构是什么？
• RQ2 矩阵分布如何作为度量测度空间在保测度等距同构下的完全不变量？
• RQ3 在距离矩阵锥中，泛性的作用是什么？它与乌里松空间有何关联？
• RQ4 是否可以构造自然数上的随机度量，使得其完成以概率一生成乌里松空间？
• RQ5 是否可以定义一个在乌里松空间上的非退化测度，使得随机选取的 $n$ 个点的联合分布与 $\cal R_n$ 上给定的分布相匹配？

主要发现

• 生成乌里松空间的通用距离矩阵集合是锥 $\cal R$ 中的稠密 $G_\delta$ 子集，意味着其在拓扑意义下具有泛性。
• 矩阵分布——作为 $\cal R$ 上关于 $S_{\infty}$ 不变的遍历测度——是具有博雷尔概率测度的度量空间在保测度等距同构下的完全不变量。
• 通过在纤维 $A(r)$ 上使用条件测度的构造，得到 $\cal R$ 上的概率测度 $\nu$，使得 $\nu$-几乎处处的矩阵在完成之后生成乌里松空间。
• 典型的度量三元组（即具有博雷尔概率测度的波兰空间）同构于配备非退化测度的乌里松空间。
• 矩阵分布的空间构成了一类自然的随机矩阵和 $\mathbb{N}$ 上的随机度量，类似于组合学中的埃拉多什-雷尼随机图模型。
• 此类测度的构造本质上是组合的：以独立的连续距离分布随机添加点，几乎必然导致乌里松空间。