[论文解读] Distance Preserving Graphs

Emad Zahedi|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文引入了距离保持（dp）图——即包含所有可能阶数子图的等距子图的图。证明了弦图是dp图，通过展示向dp图中添加一个单体顶点可保持dp性质；并建立了基于围长的条件（围长 ≥ 5 且每个顶点是割点或位于环上），该条件表明图不是dp图。

ABSTRACT

Given a graph $G$ then a subgraph $H$ is $isometric$ if, for every pair of vertices $u,v$ of $H$, we have $d_H(u,v) = d_G(u,v)$. We say a graph $G$ is $distance\ preserving\ (dp)$ if it has an isometric subgraph of every possible order up to the order of $G$. We consider how to add a vertex to a dp graph so that the result is a dp graph. This condition implies that chordal graphs are dp. We also find a condition on the girth of $G$ which implies that it is not dp. In closing, we discuss other work and open problems concerning dp graphs.

研究动机与目标

• 定义并表征距离保持（dp）图，即包含从1到|V(G)|所有阶数的等距子图的图。
• 研究向dp图中添加顶点时，dp性质得以保持的条件。
• 确定阻止图成为dp图的结构约束——尤其是关于围长和顶点类型。
• 将已知dp图的类别扩展至树之外，特别是扩展到弦图。
• 识别dp图在密度和结构属性方面的开放问题与猜想。

提出的方法

• 使用等距子图的概念，即所有顶点对之间的距离在诱导子图中保持不变。
• 通过顶点数的归纳法，从K₁开始，通过添加具有特定邻域性质的顶点来构建dp图。
• 利用单体顶点（其邻居构成一个团）的概念，证明弦图是dp图。
• 引入一个宽松条件：若某顶点的非相邻邻居位于一个共同的4-圈上，则添加此类顶点可保持dp性质。
• 通过测地线路径中的矛盾，证明当移除具有特定邻域结构的顶点时，子图仍保持等距。
• 通过围长分析证明：若图的围长 ≥ 5 且不存在3-圈或4-圈，则其不具有阶数为|V|−1的等距子图，因此不是dp图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，向dp图中添加一个顶点仍能得到另一个dp图？
• RQ2 所有弦图是否都是距离保持图？如果是，原因是什么？
• RQ3 哪些结构属性——尤其是与圈长和顶点类型相关的属性——会阻止图成为dp图？
• RQ4 dp图的类别能否超越树和弦图？
• RQ5 是否几乎所有图都是dp图，特别是考虑到大多数图的直径为2？

主要发现

• 通过使用单体顶点消除顺序的归纳法，证明了弦图是距离保持图。
• 若图G包含一个顶点v，使得v的每对非相邻邻居位于一个共同的4-圈上，且G−v是dp图，则图G是dp图。
• 若图G的围长 ≥ 5 且每个顶点都是割点或位于环上，则G不是dp图，因为其不具有阶数为|V(G)|−1的等距子图。
• 单体顶点引理的逆命题不成立：从dp图中移除一个单体顶点可能得到非dp子图，如C₅反例所示。
• 任意图H与dp图G的字典积也是dp图。
• 若图G是顺序dp图，且H是任意dp图，则G与H的笛卡尔积也是dp图，通过积构造方法扩展了dp图的类别。