[论文解读] Distance-preserving stabilizer measurements in hypergraph product codes

Argyris Giannisis Manes, Jahan Claes|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文证明了超图产品（HGP）码——一类有限速率的量子低密度奇偶校验（QLDPC）码——具有距离鲁棒性：任意稳定算符测量电路均能保持码的有效距离。作者表明，Tremblay 等人（2022）提出的深度最优电路在保持距离方面同样最优，使得 HGP 码在实现低深度、高距离保持能力的测量电路方面，特别适合容错量子计算。

ABSTRACT

Unlike the surface code, quantum low-density parity-check (QLDPC) codes can have a finite encoding rate, potentially lowering the error correction overhead. However, finite-rate QLDPC codes have nonlocal stabilizers, making it difficult to design stabilizer measurement circuits that are low-depth and do not decrease the effective distance. Here, we demonstrate that a popular family of finite-rate QLDPC codes, hypergraph product codes, has the convenient property of distance-robustness: any stabilizer measurement circuit preserves the effective distance. In particular, we prove the depth-optimal circuit in [Tremblay et al, PRL 129, 050504 (2022)] is also optimal in terms of effective distance.

研究动机与目标

• 为解决设计有限速率 QLDPC 码的稳定算符测量电路时，有效码距离不被降低的挑战。
• 研究超图产品（HGP）码——一类重要的有限速率 QLDPC 码——在任意稳定算符测量电路下是否表现出距离鲁棒性。
• 确立 Tremblay 等人（2022）提出的深度最优测量电路在保持码距离方面也达到最优。
• 提供形式化证明，表明 HGP 码中的逻辑算符在辅助比特测量引起的误差传播后，其距离仍至少为 d。

提出的方法

• 作者分析了 HGP 码中逻辑 Z 和 X 算符的结构，表明它们分别在至少 d₁ 个不同行或 d₂ᵀ 个不同列上具有支撑。
• 他们利用部分点积运算 eₜ ⋅ z₁，证明任意稳定算符乘积均无法消除逻辑算符在任一行或一列中的支撑。
• 该证明依赖于 yⱼ ∉ Im(H₂ᵀ) 和 aₗ ∉ Im(H₁) 的事实，确保逻辑算符的支撑无法通过稳定算符相乘被完全抵消。
• 他们形式化了辅助比特误差向数据量子比特的传播过程，表明至少需要 d 个辅助比特误差才能完全覆盖一个逻辑算符，从而保持有效距离。
• 通过利用其乘积结构和码对偶性，将表面码的距离鲁棒性特性推广至 HGP 码。
• 该证明被推广至由逻辑算符与稳定算符乘积构成的任意逻辑算符，确认在所有此类组合下均保持鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 HGP 码的稳定算符测量电路是否能保持码的有效距离，即使误差从辅助比特传播而来？
• RQ2 HGP 码的深度最优测量电路是否在距离保持方面也达到最优？
• RQ3 HGP 码中的逻辑算符在辅助比特测量引起的误差传播后，是否仍至少保持距离 d，无论是否与稳定算符相乘？
• RQ4 HGP 码稳定算符的非局域结构是否能防止测量过程中的距离降低，而其他有限速率 QLDPC 码则不能？

主要发现

• HGP 码具有距离鲁棒性：任意有效的稳定算符测量电路均能保持有效码距离，如同表面码一样。
• Tremblay 等人（2022）提出的深度最优电路在保持码距离方面同样最优，同时满足深度最小化与距离保持的双重最优标准。
• HGP 码中的逻辑 Z 算符在至少 d₁ 个不同行上具有支撑，逻辑 X 算符在至少 d₂ᵀ 个不同列上具有支撑，确保至少需要 d 个辅助比特误差才能完全覆盖。
• 即使在将逻辑算符与稳定算符相乘后，其支撑也无法在任一行或一列中被完全消除，原因在于 yⱼ 与 H₂ᵀ 的像线性无关，aₗ 与 H₁ 的像也线性无关。
• 该证明确认，任何逻辑算符与稳定算符的组合均无法使有效距离降低至 d 以下，从而确立了所有逻辑算符的鲁棒性。