[论文解读] Distance proper connection of graphs

Xueliang Li, Colton Magnant+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文引入了边染色图中距离ℓ-恰当连通性的概念，定义了(k,ℓ)-恰当连通数为使所有顶点对之间存在k条内部点不相交的距离ℓ-恰当路径所需的最少颜色数。研究证明，对于任意2-连通图G，(1,2)-恰当连通数pc₁,₂(G) ≤ 5，并为大多数图的联图与笛卡尔积建立了紧致上界3，且对树、完全图、轮图、超立方体及可迹图的排列图等特殊图类确定了精确值。

ABSTRACT

Let $G$ be an edge-colored connected graph. A path $P$ in $G$ is called a distance $\ell$-proper path if no two edges of the same color appear with fewer than $\ell$ edges in between on $P$. The graph $G$ is called $(k,\ell)$-proper connected if every pair of distinct vertices of $G$ are connected by $k$ pairwise internally vertex-disjoint distance $\ell$-proper paths in $G$. For a $k$-connected graph $G$, the minimum number of colors needed to make $G$ $(k,\ell)$-proper connected is called the $(k,\ell)$-proper connection number of $G$ and denoted by $pc_{k,\ell}(G)$. In this paper, we prove that $pc_{1,2}(G)\leq 5$ for any $2$-connected graph $G$. Considering graph operations, we find that $3$ is a sharp upper bound for the $(1,2)$-proper connection number of the join and the Cartesian product of almost all graphs. In addition, we find some basic properties of the $(k,\ell)$-proper connection number and determine the values of $pc_{1,\ell}(G)$ where $G$ is a traceable graph, a tree, a complete bipartite graph, a complete multipartite graph, a wheel, a cube or a permutation graph of a nontrivial traceable graph.

研究动机与目标

• 引入并形式化边染色图中距离ℓ-恰当路径与(k,ℓ)-恰当连通性的概念。
• 确定各类图族（包括树、完全二部图、轮图、超立方体及排列图）的(1,2)-恰当连通数pc₁,₂(G)。
• 为图运算（如联图与笛卡尔积）建立pc₁,₂(G)的紧致上界。
• 探讨(k,ℓ)-恰当连通性与现有概念（如彩虹连通性与恰当连通性）之间的关系。

提出的方法

• 将距离ℓ-恰当路径定义为：任意相同颜色的两条边之间至少间隔ℓ条边。
• 将(k,ℓ)-恰当连通数pcₖ,ℓ(G)定义为使所有顶点对之间存在k条内部点不相交的距离ℓ-恰当路径所需的最少颜色数。
• 使用递归与构造性染色技术为路径与环中的边分配颜色，确保保持距离ℓ-恰当性。
• 应用图论结构分析与路径分解方法，研究可迹图、完全多部图及排列图等图族。
• 通过颜色序列与对称性，为星图、超立方体及笛卡尔积等特定图构造显式的(1,2)-恰当路径染色。
• 验证所有构造的染色方案均能在每对顶点间产生有效的(1,2)-恰当路径，确保上界为紧致。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意2-连通图G的pc₁,₂(G)最大值是多少？
• RQ2 当其中一个图为星图时，两个图的联图与笛卡尔积的(1,2)-恰当连通数是多少？
• RQ3 树、完全二部图、轮图与超立方体等特殊图类的(1,2)-恰当连通数是多少？
• RQ4 可迹图的排列图的(1,ℓ)-恰当连通数能否用ℓ表示上界？
• RQ5 当G为星图且H具有半径至少为3的生成树时，pc₁,₂(S□T)的上界4是否为紧致的？

主要发现

• 对于任意2-连通图G，(1,2)-恰当连通数满足pc₁,₂(G) ≤ 5。
• 几乎所有图的联图与笛卡尔积的(1,2)-恰当连通数不超过3，该上界为紧致。
• 对于可迹图G，其排列图的(1,ℓ)-恰当连通数满足pc₁,ℓ(Pₐ(G)) ≤ ℓ + 1。
• 树的(1,2)-恰当连通数为2，完全二部图K_{m,n}的为3。
• 轮图W_n（n ≥ 4）的(1,2)-恰当连通数为3，超立方体的为3。
• 对于非平凡可迹图的排列图，任意排列α下均有pc₁,ℓ(Pₐ(G)) ≤ ℓ + 1成立。