[论文解读] Distance-regular graph with large a1 or c2

Jack H. Koolen, Jongyook Park|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文对具有较大 $a_1$ 或 $c_2$ 的距离正则图进行分类，表明当直径至少为三时，除有限多个例外情况外，此类图要么是泰勒图，要么是直径为三的二分图，要么是线图。关键结果扩展了此前关于 $c_2 > rac{1}{2}k$ 的界限，并对满足 $a_1 \\-geq \frac{1}{2}k - 1$ 的图进行了分类，识别出约翰逊图 $J(7,3)$ 和 7-立方体的一半图是唯一非线图、非泰勒图的例外情况。

ABSTRACT

In this paper, we study distance-regular graphs $Γ$ that have a pair of distinct vertices, say x and y, such that the number of common neighbors of x and y is about half the valency of $Γ$. We show that if the diameter is at least three, then such a graph, besides a finite number of exceptions, is a Taylor graph, bipartite with diameter three or a line graph.

研究动机与目标

• 对满足相邻顶点共同邻居数 ($a_1$) 至少为度数减一的一半的距离正则图进行分类。
• 扩展此前关于 $c_2 > \frac{1}{2}k$ 图的结果，特别是对具有较大 $c_2$ 的图进行分类。
• 分析满足 $k_2 \leq \frac{3}{2}k$ 的图，其中 $k_2$ 表示从固定顶点出发距离为二的顶点数。
• 在上述条件下，判断是否存在无穷多个此类图，特别是在泰勒图和线图的背景下。
• 证明对于 $\varepsilon > 0$，满足 $k_2 \leq (2 - \varepsilon)k$ 的距离正则图仅有有限多个，排除多边形和泰勒图。

提出的方法

• 使用交集数组分析和特征值界限，以约束具有较大 $a_1$ 或 $c_2$ 的距离正则图的结构。
• 应用 Bose-Mesner 代数和特征值交错原理，推导最大特征值重数 $m_1$ 的界限。
• 采用方程 $\theta_1 \geq \min\{a_1 + 1, a_3\}$ 来估计第二大全特征值 $\theta_1$。
• 施加条件 $k_2 \leq \frac{3}{2}k$ 以限制距离为二的顶点数，从而对 $v$ 和 $k$ 得到界限。
• 使用计算机验证，在 $k \leq 1127$ 的条件下，检查满足 $m_1 < \frac{1}{2}k$、$\theta_1 = \frac{b_1}{2} - 1$ 和 $k_2 \leq \frac{3}{2}k$ 的可行交集数组。
• 应用距离正则图理论中的已知结果，包括 Brouwer、Cohen 和 Neumaier（1989）的定理 4.4.11 和 5.3.2，以排除不可能的配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 除了线图和泰勒图外，是否存在满足 $a_1 \geq \frac{1}{2}k - 1$ 且直径至少为三的距离正则图？
• RQ2 满足 $c_2 > \frac{1}{2}k$ 且直径至少为三的距离正则图具有何种结构？
• RQ3 是否存在无穷多个满足 $k_2 \leq \frac{3}{2}k$ 且直径至少为三的距离正则图（排除多边形和泰勒图）？
• RQ4 限制此类图存在的特征值和重数约束是什么？
• RQ5 能否将满足 $a_1 \geq \frac{1}{2}k - 1$ 的图的分类扩展至包含非线图和非泰勒图？

主要发现

• 当直径至少为三时，满足 $a_1 \geq \frac{1}{2}k - 1$ 的距离正则图，要么是线图，要么是泰勒图，或是约翰逊图 $J(7,3)$ 或 7-立方体的一半图。
• 约翰逊图 $J(7,3)$ 的度数 $k = 12$，$k_2 = 35$，且是唯一满足条件的非线图、非泰勒图。
• 7-立方体的一半图的 $k = 12$，$k_2 = 35$，且是分类中唯一非线图、非泰勒图的图。
• 在给定特征值约束下，对于直径为三、$k_2 \leq \frac{3}{2}k$、$m_1 < \frac{1}{2}k$ 且 $k \leq 1127$ 的距离正则图，不存在可行的交集数组。
• 分析表明，在满足 $m_1 < \frac{1}{2}k$ 和 $\theta_1 = \frac{b_1}{2} - 1$ 的条件下，$k \leq 1127$，且经过全面计算机搜索后，不存在此类图。
• 对于 $k_2 \leq (2 - \varepsilon)k$ 且 $\varepsilon > 0$ 的情况，除了多边形和泰勒图外，仅有有限多个直径至少为三的距离正则图存在。