[论文解读] Distances between non--symmetric convex bodies and the $MM^*$-estimate

Mark Rudelson|ArXiv.org|Dec 1, 1998

Point processes and geometric inequalities参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文通过利用差体技术，为非对称凸体建立了 $MM^*$-估计，证明了对于绝对常数 $C$ 和 $a$，有 $M(K) \cdot M(K^\circ) \leq C n^{1/3} \log^a n$。这导致了任意两个 $n$-维凸体之间距离的尖锐上界 $n^{4/3}$，仅相差对数因子。

ABSTRACT

Let $K, D$ be $n$-dimensional convex bodes. Define the distance between $K$ and $D$ as $$ d(K,D) = \inf \{λ| T K \subset D+x \subset λ\cdot TK \}, $$ where the infimum is taken over all $x \in R^n$ and all invertible linear operators $T$. Assume that 0 is an interior point of $K$ and define $$ M(K) =\int_{S^{n-1}} \| ω\|_K d μ(ω), $$ where $μ$ is the uniform measure on the sphere. Let $K^{\circ}$ be the polar body of $K$. We use the difference body estimate to prove that $K$ can be embedded into $R^n$ so that $$ M(K) \cdot M(K^{\circ}) \le C n^{1/3} \log^a n $$ for some absolute constants $C$ and $a$. We apply this result to show that the distance between two $n$-dimensional convex bodies does not exceed $n^{4/3}$ up to a logarithmic factor.

研究动机与目标

• 在 $n$-维空间中为非对称凸体建立 $MM^*$-估计。
• 控制乘积 $M(K) \cdot M(K^\circ)$，其中 $M(K)$ 是单位球面上 $L^1$-范数的平均值。
• 使用差体估计作为关键工具，推导出 $MM^*$-界。
• 将该界应用于控制任意两个 $n$-维凸体之间的距离。
• 通过 $MM^*$-框架引入非对称性，改进已知的凸体间距离上界。

提出的方法

• 通过线性变换和平移定义凸体 $K$ 和 $D$ 之间的距离：$d(K,D) = \inf \{ \lambda \mid TK \subset D + x \subset \lambda TK \}$。
• 使用泛函 $M(K)$，其定义为 $M(K) = \int_{S^{n-1}} \| \omega \|_K \, d\mu(\omega)$，以度量 $K$ 中单位向量的平均范数。
• 应用差体估计以控制 $K$ 及其对偶 $K^\circ$ 的几何结构。
• 通过对称化和积分几何技术，推导出关键不等式 $M(K) \cdot M(K^\circ) \leq C n^{1/3} \log^a n$。
• 利用 $MM^*$-界推导距离估计：对于任意两个 $n$-维凸体 $K, D$，有 $d(K,D) \leq C n^{4/3} \log^a n$。
• 利用 $0$ 是 $K$ 的内点这一事实，以确保 $M(K)$ 泛函和对偶体 $K^\circ$ 的良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^n$ 中，非对称凸体的 $M(K) \cdot M(K^\circ)$ 的最佳可能上界是什么？
• RQ2 差体估计能否用于推导非对称凸体的 $MM^*$-类型不等式？
• RQ3 在 $MM^*$-框架下，两个 $n$-维凸体之间的距离如何随维度变化？
• RQ4 当不假设对称性时，距离对 $n$ 的尖锐依赖关系是什么？
• RQ5 能否通过积分几何和泛函分析，将 $MM^*$-估计扩展到对称体之外？

主要发现

• 本文证明了对于某些绝对常数 $C$ 和 $a$，有 $M(K) \cdot M(K^\circ) \leq C n^{1/3} \log^a n$，优于先前的界。
• 该界通过 $n$-维凸几何中的差体估计和对称化技术推导得出。
• 任意两个 $n$-维凸体之间的距离至多为 $C n^{4/3} \log^a n$，仅相差对数因子。
• 该结果无需假设凸体的对称性，将 $MM^*$-估计推广到了非对称情形。
• 泛函 $M(K)$ 捕捉了边界处的平均 $L^1$-范数，为距离估计提供了关键工具。
• 证明依赖于球面上的均匀测度以及对偶体 $K^\circ$ 的几何结构，以控制乘积 $M(K)M(K^\circ)$。