[论文解读] Distances in random graphs with finite variance degrees

Remco van der Hofstad, Gerard Hooghiemstra+1 more|ArXiv.org|Jul 7, 2004

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 47被引用 80

一句话总结

本文严格分析了具有幂律度分布且方差有限的随机网络中的图距离（跳数），表明节点之间的典型距离随网络规模呈对数增长，即 logνN，其中 ν = E[D(D−1)]/E[D] > 1。此外，本文证明了该均值周围的波动是统一有界的，并沿指数子序列收敛于分布，从而验证了 Newman、Strogatz 和 Watts 提出的启发式猜想。

ABSTRACT

In this paper we study a random graph with $N$ nodes, where node $j$ has degree $D_j$ and $\{D_j\}_{j=1}^N$ are i.i.d. with $\prob(D_j\leq x)=F(x)$. We assume that $1-F(x)\leq c x^{-τ+1}$ for some $τ>3$ and some constant $c>0$. This graph model is a variant of the so-called configuration model, and includes heavy tail degrees with finite variance. The minimal number of edges between two arbitrary connected nodes, also known as the graph distance or the hopcount, is investigated when $N o \infty$. We prove that the graph distance grows like $\log_νN$, when the base of the logarithm equals $ν=\expec[D_j(D_j -1)]/\expec[D_j]>1$. This confirms the heuristic argument of Newman, Strogatz and Watts \cite{NSW00}. In addition, the random fluctuations around this asymptotic mean $\log_ν{N}$ are characterized and shown to be uniformly bounded. In particular, we show convergence in distribution of the centered graph distance along exponentially growing subsequences.

研究动机与目标

• 严格建立具有幂律度和有限方差的随机网络中图距离的渐近行为。
• 验证 Newman、Strogatz 和 Watts 提出的图距离跳数的启发式对数缩放。
• 刻画图距离均值周围随机波动的分布。
• 将配置模型扩展至具有 τ > 3 的重尾度分布且二阶矩有限的情形。
• 证明在指数增长子序列上，中心化图距离的收敛性。

提出的方法

• 使用配置模型生成具有独立同分布度的随机图，其度分布满足 P(D > x) ≤ c x^{−τ+1}，其中 τ > 3。
• 应用耦合理论将原图与一种对高阶度节点进行截断的修改版本进行比较。
• 采用分支过程近似来建模局部邻域的增长并估计典型距离。
• 利用最短路径图分析控制全局结构与连通性特征。
• 应用 Potter 定理并结合对慢变函数的界，处理一般幂律尾部。
• 通过矩界和紧致性论证，证明在形式为 N_k = exp(k log ν) 的子序列上，中心化跳数的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有限方差幂律度的随机网络中，图距离随网络规模 N 的增长如何变化？
• RQ2 当 N → ∞ 时，图距离的随机波动是否在概率上统一有界？
• RQ3 当图距离被适当地中心化后，其是否收敛于分布？在哪些子序列上？
• RQ4 在这些网络中，高阶度节点在多大程度上影响全局距离特性？
• RQ5 在度分布具有有限方差的假设下，是否能严格证明跳数的启发式对数缩放？

主要发现

• 两个典型节点之间的图距离渐近地增长为 logν N，其中 ν = E[D(D−1)] / E[D] > 1。
• 当 N → ∞ 时，图距离围绕 logν N 的波动在概率上是统一有界的。
• 在形式为 N_k = exp(k log ν) 的子序列上，中心化图距离收敛于分布，表明具有稳定的极限行为。
• 最大连通分量以高概率具有大小 qN(1 + o(1))，其中 q 是匹配度分布的分支过程的生存概率。
• 第二大分量以 γ log N 为随机上界，证实了不存在大规模次级分量。
• 在条件 1 − F(x) ≤ c x^{−τ+1} 且 τ > 3 下，结果成立，从而保证了度分布的有限方差。