[论文解读] Distinction and Asai $L$-functions for generic representations of general linear groups over p-adic fields

Nadir Matringe|ArXiv.org|Feb 18, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文对含有二次扩张 $F$ 的 $p$-进域 $K$ 上的 $Γ\mathrm{L}(n,K)$ 的一般、特殊表示进行了分类，表明此类表示在 $Γ\mathrm{L}(n,F)$ 下可区分当且仅当它们是由满足特定对偶性与可区分性条件的拟平方可积表示通过标准诱导得到的。关键结果建立了 Asai $L$-函数在零点处极点与可区分性之间的精确联系，证实了通用表示的 Asai $L$-函数与其 Langlands 参数的 Asai $L$-函数之间预期的相等性。

ABSTRACT

Let $K/F$ be a quadratic extension of $p$-adic fields, and $n$ a positive integer. A smooth irreducible representation of the group $GL(n,K)$ is said to be distinguished, if it admits on its space a nonzero $GL(n,F)$-invariant linear form. In the present work, we classify genric distinguished representations of the group $GL(n,K)$ in terms of inducing quasi-square-integrable representations. This has as a consequence the truth of the expected equality between the Rankin-Selberg type Asai $L$-function of a generic representation, and the Asai $L$-function of its Langlands parameter.

研究动机与目标

• 对 $\mathrm{GL}(n,K)$ 的一般、光滑、不可约表示进行分类，使其在 $\mathrm{GL}(n,F)$ 下可区分，其中 $K/F$ 是 $p$-进域的二次扩张。
• 通过其诱导的拟平方可积表示，精确刻画此类可区分表示的结构。
• 证明通用表示的 Rankin-Selberg 类型 Asai $L$-函数与其 Langlands 参数的 Asai $L$-函数之间预期的相等性。
• 支持如下猜想：可区分性对应于 Asai $L$-函数在零点处的例外极点，并将已知的离散系列结果推广至一般通用表示。

提出的方法

• 使用正规化标准诱导，从拟平方可积表示 $\Delta_1, \dots, \Delta_t$ 构造 $\mathrm{GL}(n,K)$ 的一般表示。
• 应用 Jacquet 模理论与标准模猜想，分析与诱导数据相关的 Jacquet 模 $r_{M_s,M}(\Delta)$ 的结构。
• 利用 $r_{M_s,M}(\Delta)$ 是 $M_s(F)$-可区分的条件，推导出 $\Delta_i$ 的必要条件，特别是涉及 Galois 对偶性与自对偶性的条件。
• 通过诱导段数目的归纳，基于最小下标 $i_0$ 满足 $n_{i_0,1} \neq 0$ 的情况分析，将问题约化为更小的子表示。
• 利用离散系列情形下 $L_F^K(\pi)$ 与 $L_F^K(\rho)$ 相等的已知结果，通过 Rankin-Selberg 方法将结论推广至一般表示。
• 利用已有工作确立的事实：一个表示可区分当且仅当其 Asai $L$-函数在零点处具有例外极点。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $K/F$ 是 $p$-进域的二次扩张时，$Γ\mathrm{L}(n,K)$ 的一般表示在 $Γ\mathrm{L}(n,F)$ 下何时可区分？
• RQ2 通用表示 $\pi$ 的 Asai $L$-函数极点与其可区分性之间存在何种精确关系？
• RQ3 如何将通用表示 $\pi$ 的 Asai $L$-函数与其 Langlands 参数的 $L$-函数联系起来？
• RQ4 在何种诱导数据（即拟平方可积表示）条件下，$Γ\mathrm{L}(n,K)$ 的标准诱导一般表示是可区分的？
• RQ5 猜想：可区分性对应于 Asai $L$-函数在零点处的例外极点，该猜想对所有一般表示（而不仅是离散系列）是否成立？

主要发现

• $Γ\mathrm{L}(n,K)$ 的一般表示 $\pi$ 在 $Γ\mathrm{L}(n,F)$ 下可区分，当且仅当其诱导的拟平方可积表示 $\Delta_1, \dots, \Delta_t$ 满足：存在重排与整数 $r$，使得对奇数 $i \leq 2r-1$ 有 $\Delta_{i+1}^\sigma = \Delta_i^\vee$，且对 $i > 2r$ 有 $\Delta_i$ 可区分。
• 通用表示 $\pi$ 的 Asai $L$-函数 $L_F^K(\pi)$ 在零点处具有例外极点，当且仅当 $\pi$ 可区分，从而证实了对一般表示的猜想。
• 通用表示 $\pi$ 的 Asai $L$-函数等于表示 $M_{W'_K}^{W'_F}(\rho)$ 的经典 $L$-函数，其中 $\rho$ 是 $\pi$ 的 Langlands 参数，从而确立了预期的相等性。
• 该结果将 Jacquet 对离散系列的猜想推广至一般表示，表明 Galois 自对偶性在特定诱导模式下蕴含可区分性。
• 证明通过归纳与 Jacquet 模结构，将一般情形约化为离散系列情形，利用离散系列下已知的等式 $L_F^K(\pi) = L_F^K(\rho)$。
• 本文证实，一般表示的可区分性等价于诱导数据中存在特定配对：对称对 $\Delta_i, \Delta_i^{\vee\sigma}$ 与孤立的可区分段。