[论文解读] Distinguished cycles on varieties with motive of abelian type and the Section Property

Lie Fu, Charles Vial|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文引入了对称性区分的阿贝尔动机的概念，以建立光滑射影代数簇的周动机属于阿贝尔类型时，其有理周环模数值等价的商环存在一个提升陈类的截面的充分条件。主要贡献在于证明了众多代数簇（包括阿贝尔簇、双曲曲线、费马三次超曲面，以及高诺伊特数的K3或Kummer曲面的希尔伯特纲）存在此类截面，为全纯辛几何中的猜想性截面性质提供了强有力证据。

ABSTRACT

A remarkable result of Peter O'Sullivan asserts that the algebra epimorphism from the rational Chow ring of an abelian variety to its rational Chow ring modulo numerical equivalence admits a (canonical) section. Motivated by Beauville's splitting principle, we formulate a conjectural Section Property which predicts that for smooth projective holomorphic symplectic varieties there exists such a section of algebra whose image contains all the Chern classes of the variety. In this paper, we investigate this property for (not necessarily symplectic) varieties with Chow motive of abelian type. We introduce the notion of symmetrically distinguished abelian motive and use it to provide a sufficient condition for a smooth projective variety to admit such a section. We then give series of examples of varieties for which our theory works. For instance, we prove the existence of such a section for arbitrary products of varieties with Chow groups of finite rank, abelian varieties, hyperelliptic curves, Fermat cubic hypersurfaces, Hilbert schemes of points on an abelian surface or a Kummer surface or a K3 surface with Picard number at least 19, and generalized Kummer varieties. The latter cases provide evidence for the conjectural Section Property and exemplify the mantra that the motives of holomorphic symplectic varieties should behave as the motives of abelian varieties, as algebra objects.

研究动机与目标

• 提出并研究截面性质，猜想全纯辛代数簇的有理周环到其模数值等价的商环的满射存在一个保持陈类的截面。
• 将彼得·奥沙利文对阿贝尔簇的结果推广到更广泛的具有周动机阿贝尔类型的代数簇类。
• 引入对称性区分的阿贝尔动机的概念，作为此类截面存在的充分条件。
• 通过具体例子（如K3曲面上的希尔伯特纲和广义Kummer簇）说明截面性质成立，支持全纯辛代数簇的动机行为类似于阿贝尔簇的动机这一观点。

提出的方法

• 在阿贝尔簇上引入对称性区分的周期的概念，并将其推广至具有挠结构的阿贝尔主齐性空间。
• 将对称性区分的阿贝尔动机定义为奥沙利文在阿贝尔簇上所建立的典范截面的推广。
• 使用关键条件 $(\star)$，即保证周-库伦斯分解与代数结构相容，作为截面存在的判据。
• 应用乘积、射影丛、爆破以及一般有限态射等操作，保持条件 $(\star)$ 成立，并将其有效性扩展至新的代数簇类。
• 通过验证曲线的亏格 ≤2、费马超曲面、诺伊特数 ≥19 的K3曲面，以及阿贝尔或Kummer曲面上的希尔伯特纲，构造具体例子。
• 利用博伊柳分解和塞萨循环，证明某些代数簇（如亏格 >2 的一般曲线或费马四次曲线）不满足 $(\star)$，从而揭示该理论的适用边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有阿贝尔类型动机的代数簇，其有理周环到模数值等价的商环的满射是否存在一个提升陈类的截面？
• RQ2 最初仅针对全纯辛代数簇提出的截面性质，是否可在具有阿贝尔类型动机的特定代数簇类中建立？
• RQ3 周-库伦斯分解的哪些条件可确保此类截面的存在？这些条件在实践中如何验证？
• RQ4 哪些具有阿贝尔类型动机的代数簇不满足截面性质？何种几何不变量可检测这种不满足？
• RQ5 全纯辛代数簇的动机在周动机范畴中作为代数对象，其行为在多大程度上类似于阿贝尔簇的动机？

主要发现

• 本文证明了在阿贝尔簇上，有理周环模数值等价的满射存在截面，推广了奥沙利文的结果。
• 对于任意具有有限秩周群的代数簇的乘积，此类截面存在。
• 所有双曲曲线均存在该截面，因为其动机属于阿贝尔类型且满足关键条件 $(\star)$。
• 费马三次超曲面存在该截面，因为它们具有对称性区分的阿贝尔动机。
• 在阿贝尔曲面、Kummer曲面或诺伊特数至少为19的K3曲面上的点的希尔伯特纲上，截面性质成立，原因在于存在乘法周-库伦斯分解。
• 广义Kummer簇也具有此类截面，为全纯辛几何中猜想的截面性质提供了进一步证据。