[论文解读] Distinguished dimensions for special Riemannian geometries

Paweł Nurowski|ArXiv.org|Jan 2, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

该论文识别出在维度 $n_k = 5, 8, 14, 26$ 下具有结构群 $H_k = ϳ(3), ϳ⁡(3), ϳ(3), ℜ_4$ 的特殊黎曼几何，这些几何源于在这些群下不变的三元对称形式。论文建立了此类几何存在具有完全反对称挠率的特征联络的充要条件，并在维度 8 下构造了非零挠率且在 Levi-Civita 与特征联络下均满足爱因斯坦方程的非平凡例子。

ABSTRACT

The paper is based on relations between a ternary symmetric form defining the SO(3) geometry in dimension five and Cartan's works on isoparametric hypersurfaces in spheres. As observed by Bryant such a ternary form exists only in dimensions n_k=3k+2, where k=1,2,4,8. In these dimensions it reduces the orthogonal group to the subgroups H_k\subset SO(n_k), with H_1=SO(3), H_2=SU(3), H_4=Sp(3) and H_8=F_4. This enables studies of special Riemannian geometries with structure groups H_k in dimensions n_k. The neccessary and sufficient conditions for the H_k geometries to admit the characteristic connection are given. As an illustration nontrivial examples of SU(3) geometries in dimension 8 admitting characteristic connection are provided. Among them there are examples having nonvanishing torsion and satisfying Einstein equations with respect to either the Levi-Civita or the characteristic connections.

研究动机与目标

• 识别存在三元对称形式、能将正交群约化为特殊子群 $H_k$ 的维度与几何结构。
• 确定 $H_k$-几何中存在具有完全反对称挠率的特征联络的必要与充分条件。
• 在维度 8 下构造非平凡的 $ϳ⁡(3)$-几何例子，其挠率非零，并在 Levi-Civita 与特征联络下均满足爱因斯坦方程。
• 探讨李群的“魔术平方”在高维中构造额外十种类别的特殊黎曼几何的启示。
• 分析维度 8 中的 $ϳ⁡(2)\timesϳ⁡(2)$-结构作为特例，识别将 $ϳ⁡(8)$ 约化为此子群的张量。

提出的方法

• 利用 $ϳ⁡(n_k)$ 的 $H_k$ 子群下不变的三元对称形式的代数结构，这些形式源自球面上等参超曲面的 Cartan 理论。
• 应用近乎可积性条件 $\nabla^{\mathrm{LC}}_v \Upsilon(v,v,v) \equiv 0$，以定义唯一的 $ϳ(3)$-值特征联络 $\nabla^T$，其具有完全反对称挠率。
• 运用 $ϳ⁡(3)$、$ϳ(3)$ 与 $ℜ_4$ 的表示理论，分析切空间的分解及结构群的作用。
• 使用“魔术平方”构造法，预测在维度 12、18、30、54、28、40、64 与 112 下存在额外十种类别的特殊黎曼几何，其结构群分别为 $ℜ(3)$、$ℜ({\rm U}(3)\times{\rm U}(3))$、$ℜ(6)$、$ℜ_6\times\mathrm{SO}(2)$、$ϳ(3)\times\mathrm{SU}(2)$、$ϳ(6)\times\mathrm{SU}(2)$、$ϳ(12)\times\mathrm{SU}(2)$ 与 $ℜ_7\times\mathrm{SU}(2)$。
• 通过利用定义为 $3\times3$ 实对称无迹矩阵行列式的三阶张量 $\Upsilon$，在维度 8 下构造显式例子，并验证特征联络的存在性。
• 通过识别将结构群约化为 $ϳ⁡(2)\timesϳ⁡(2)$ 的张量，分析 $ϳ⁡(8)$ 中的 $ϳ⁡(2)\timesϳ⁡(2)$-结构，为后续研究奠定基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些维度 $n$ 下存在满足代数恒等式 $\Upsilon_{jki}\Upsilon_{lmi} + \Upsilon_{lji}\Upsilon_{kmi} + \Upsilon_{kli}\Upsilon_{jmi} = g_{jk}g_{lm} + g_{lj}g_{km} + g_{kl}g_{jm}$ 的对称、无迹三元张量 $\Upsilon_{ijk}$？
• RQ2 何种必要与充分条件可保证 $H_k$-结构的黎曼流形存在具有完全反对称挠率的特征联络？
• RQ3 能否在维度 8 下构造非平凡的 $ϳ⁡(3)$-几何例子，使其具有非零挠率的特征联络，并在 Levi-Civita 与特征联络下均满足爱因斯坦方程？
• RQ4 ‘魔术平方’李群如何暗示存在额外十种类别的特殊黎曼几何？其对应的维度与结构群分别是什么？
• RQ5 何种张量结构可将 $ϳ⁡(8)$ 约化为 $ϳ⁡(2)\timesϳ⁡(2)$？这对具有此类结构的 8-流形的几何有何影响？

主要发现

• 仅当 $n_k = 3k+2$ 且 $k=1,2,4,8$ 时，存在满足所需代数恒等式的三元对称形式 $\Upsilon$，其将 $ϳ⁡(n_k)$ 约化为 $H_k = ϳ(3), ϳ⁡(3), ϳ(3), ℜ_4$。
• 对于 $H_k$-几何，存在具有完全反对称挠率的特征联络的充要条件是近乎可积性条件 $\nabla^{\mathrm{LC}}_v \Upsilon(v,v,v) \equiv 0$。
• 在维度 8 下构造了 $ϳ⁡(3)$-几何的显式例子，其对称群为 11 维，挠率位于 $ϳ⁡(3)$ 的 27 维不可约表示中，且在特征联络下满足爱因斯坦方程。
• 在维度 8 下，存在具有 9 维对称群与向量型挠率的显式例子，同样在特征联络下满足爱因斯坦方程。
• $ϳ⁡(2)\timesϳ⁡(2)$-结构在 $ϳ⁡(8)$ 中由 $3\times3$ 对称矩阵的行列式导出的特定张量表征，该张量将结构群约化为此乘积。
• ‘魔术平方’构造法预测在维度 12、18、30、54、28、40、64 与 112 下存在额外十种类别的特殊黎曼几何，其结构群分别为 $ℜ(3)$、$ℜ({\rm U}(3)\times{\rm U}(3))$、$ℜ(6)$、$ℜ_6\times\mathrm{SO}(2)$、$ϳ(3)\times\mathrm{SU}(2)$、$ϳ(6)\times\mathrm{SU}(2)$、$ϳ(12)\times\mathrm{SU}(2)$ 与 $ℜ_7\times\mathrm{SU}(2)$。