[论文解读] Distinguished representations, base change, and reducibility for unitary groups

U. K. Anandavardhanan, C. S. Rajan|ArXiv.org|Aug 27, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文通过基变换映射的 $GL_n(F)$-可区分性，建立了 $GL_n(E)$ 上平方可积表示的 Asai L-函数在 Rankin-Selberg 与 Langlands-Shahidi 方法下的相等性，并以此刻画了从酉群 $U(n)$ 到 $GL_n(E)$ 的基变换映射的像。它证明了 $GL_3(E)$ 的一个超临界表示是 $GL_3(F)$-可区分的，当且仅当它是来自 $U(3)$ 的稳定基变换，并通过分量的 $ω_{E/F}$-可区分性确定了 $U(n,n)$ 的诱导表示的可约性。

ABSTRACT

We show the equality of the local Asai L-functions defined via the Rankin-Selberg method and the Langlands-Shahidi method for a square integrable representation of GL(n,E). As a consequence we characterise reducibility of certain induced representations of U(n,n), and the image of the base change map from U(n) to GL(n,E) in terms of GL(n,F)-distinguishedness.

研究动机与目标

• 建立 $GL_n(E)$ 上平方可积表示的 Asai L-函数在 Rankin-Selberg 与 Langlands-Shahidi 方法下的相等性。
• 通过 $GL_n(F)$-可区分性刻画从 $U(n)$ 到 $GL_n(E)$ 的基变换映射的像。
• 通过 $GL_n(F)$-可区分性确定 $U(n,n)$ 的帕拉博利克诱导表示的可约性。
• 验证当 $n=3$ 时，超临界表示的 Flicker-Rallis 猜想。
• 为 Prasad 关于 $GL_n(E)$ 的 Steinberg 表示相对于 $GL_n(F)$ 上特征 $χ \circ \det$ 的可区分性的猜想提供证据。

提出的方法

• 使用整体方法证明 $L_1(s, As(\pi))$ 与 $L_2(s, As(\pi))$ 的相等性，其中 $L_1$ 与 $L_2$ 分别为平方可积 $π$ 在 $GL_n(E)$ 上的 Asai L-函数的 Rankin-Selberg 与 Langlands-Shahidi 定义。
• 应用 $R$-群理论分析 $U(n,n)$ 的诱导表示 $I(\pi)$ 的可约性，其中 $π$ 是 Levi 子群 $M \cong \prod GL_{n_i}(E)$ 上的离散系列表示。
• 依赖于事实 $R(\pi) \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$，其中 $r$ 是满足相对于 $GL_{n_i}(F)$ 的 $ω_{E/F}$-可区分性的 $π_i$ 的数量。
• 使用如下判别准则：$I(\pi)$ 可约当且仅当 $L_2(s, As(\pi))$ 在 $s=0$ 处有极点，而该极点与可区分性通过 Asai L-函数相关联。
• 应用如下结果：$L_1(s, As(\pi \otimes \widetilde{\omega}))$ 在 $s=0$ 处有极点当且仅当 $π$ 是 $ω_{E/F}$-可区分的，该结论基于 $L$-函数的相等性。
• 使用如下事实：$L(s, \pi \times \bar{\pi}) = L_2(s, As(\pi)) L_2(s, As(\pi \otimes \widetilde{\omega}))$，且 $L(s, \pi \times \bar{\pi})$ 在 $s=0$ 处有极点当且仅当 $π^\vee \cong \bar{\pi}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $GL_n(E)$ 上的平方可积表示，通过 Rankin-Selberg 方法定义的 Asai L-函数是否与通过 Langlands-Shahidi 方法定义的相等？
• RQ2 对于 $GL_3(E)$ 上的超临界表示 $π$，$π$ 是否是 $GL_3(F)$-可区分的，当且仅当它是来自 $U(3)$ 的稳定基变换？
• RQ3 什么决定了 $U(n,n)$ 的诱导表示的可约性，以诱导数据的分量为条件？
• RQ4 在什么条件下，$GL_n(E)$ 的 Steinberg 表示相对于 $GL_n(F)$ 上的特征 $χ \circ \det$ 是可区分的？
• RQ5 分量的 $ω_{E/F}$-可区分性如何与 $U(n,n)$ 的 $R$-群结构相关联？

主要发现

• 通过 Rankin-Selberg 与 Langlands-Shahidi 方法定义的 $GL_n(E)$ 上平方可积表示的 Asai L-函数是相等的。
• 一个 $GL_3(E)$ 上的超临界表示 $π$ 是 $GL_3(F)$-可区分的，当且仅当它是来自 $U(3)$ 的稳定基变换。
• 对于 $U(n,n)$ 的 Levi 子群上的离散系列表示 $π$，其 $R$-群 $R(\pi)$ 同构于 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$，其中 $r$ 是相对于 $GL_{n_i}(F)$ 为 $ω_{E/F}$-可区分的 $π_i$ 的数量。
• $U(n,n)$ 的诱导表示 $I(\pi)$ 可约当且仅当 $π$ 是相对于 $GL_n(F)$ 的 $ω_{E/F}$-可区分的。
• $GL_n(E)$ 的 Steinberg 表示是 $GL_n(F)$-可区分的，相对于 $χ \circ \det$，当且仅当 $n$ 为奇数且 $χ$ 平凡，或 $n$ 为偶数且 $χ = \omega_{E/F}$。
• 条件 $π^\vee \cong \bar{\pi}$ 与 $L_2(s, As(\pi))$ 在 $s=0$ 处的正则性等价于 $π$ 是 $ω_{E/F}$-可区分的。