[论文解读] Distinquishing 4d N=2 SCFTs

Jacques Distler, Behzat Ergun+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文构建了若干对 4D $χ=2$ 超 conformal 场论（SCFTs），其 Weyl 异常系数、Coulomb 系统维数、规范对称代数和层级均相同，但超 conformal 指标与全局规范对称群不同。这种差异出现在超 conformal 指标的任意高阶项中，可通过 Schur 算子与 Higgs 系统 chiral 环检测，表明标准不变量不足以通过同构性分类此类 SCFTs。

ABSTRACT

We construct a family of examples of pairs of 4d N=2 SCFTs whose graded Coulomb branch dimensions, Weyl-anomaly coefficients and flavour symmetry algebras and levels coincide, but which are nonetheless distinct SCFTs. The difference (detectable by the superconformal index) can occur at arbitrarily high order. We argue that it is, however, reflected in a difference in the global form of the flavour symmetry groups.

研究动机与目标

• 挑战标准不变量（即 $(a,c)$ 异常、规范对称代数与层级、Coulomb 系统维数及共形流形结构）可完全分类 4D $χ=2$ SCFTs 的假设。
• 构造显式反例，其中这些不变量相同但 SCFTs 非同构。
• 证明超 conformal 指标在高阶项中的差异可区分此类理论。
• 探究全局规范对称群的结构是否可作为其他方面无法区分的 SCFTs 的区分性不变量。

提出的方法

• 通过 $D_{2N}$ 理论中的 class-S 构造方法构建 SCFTs，特别使用 $χ=2$ 扭曲扇区与带红/蓝标记的非常偶 puncture。
• 利用 $\mathfrak{so}(4N)$ 的 $χ=2$ 外自同构生成同构理论，同时考虑自同构群作用下的不同轨道，以找到非同构对。
• 将超 conformal 指标计算至高阶（$\tau^{10}$），以检测 Schur 算子与 Higgs 系统 chiral 环中的差异。
• 分析全局对称性元素（如 $\gamma_a$、$\delta$、$\gamma$）对 fugacities 的作用，以检验不变性并检测偏差。
• 比较精细的 Schur 指标，并识别特定 $\hat{B}_{\Delta}$ 算子（如 $\hat{B}_{9/2}$、$\hat{B}_{7/2}$）在某一理论中出现但另一理论中不出现。
• 通过 puncture 闭合生成一系列相关理论，其中指数差异出现在逐步降低的阶数上。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个 4D $χ=2$ SCFTs 是否可能具有相同的 Weyl 异常系数、规范对称代数与层级、Coulomb 系统维数，但非同构？
• RQ2 此类非同构 SCFTs 在超 conformal 指标中首次出现差异的阶数为何？导致差异的算子是什么？
• RQ3 全局规范对称群的结构是否可区分其他方面由标准不变量无法区分的 SCFTs？
• RQ4 $D_{2N}$ 理论中的 $χ=2$ 扭曲扇区是否可系统性地构造此类反例？
• RQ5 SCFT 的秩与超 conformal 指标首次发散的阶数之间是否存在系统性关联？

主要发现

• 本文构建了若干对 $D_{2N}$ SCFTs，其 $(n_h, n_v)$、规范对称代数与层级、Coulomb 系统维数均相同，但超 conformal 指标非同构。
• 这些 SCFTs 的超 conformal 指标首次在 $\tau^{N(2N-3)}$ 阶出现差异，原因在于某一理论中存在一个变换于 $\mathrm{Spin}(4N)$ 的 chiral 旋量表示的 $\hat{B}_{N(2N-3)/2}$ 算子，而另一理论中不存在。
• 对于 $D_6$，特定的一对 SCFTs 的指数在 $O(\tau^8)$ 内一致，差异出现在 $O(\tau^9)$，其原因为一个 $\hat{B}_{9/2}$ 算子，位于 $\mathfrak{sp}(3)_{12} \oplus \mathfrak{sp}(3)_{12} \oplus \mathfrak{so}(12)_{20}$ 的表示 $(1,1,32)$ 中。
• 超 conformal 指标中的差异可通过 Higgs 系统 chiral 环与全局对称性元素对 fugacities 的作用检测。
• 在 $O(\tau^3)$ 阶出现差异的理论是通过 puncture 闭合生成的，其中正确理论额外包含 $\hat{B}_{3/2}$ 算子，其在 $U(1) \times U(1)$ 下的表示为 $(1,1)_{1,1} + (1,1)_{-1,-1}$。
• 结果表明，全局规范对称群的结构是其他方面由标准不变量无法区分的 SCFTs 的关键区分性不变量。