[论文解读] Distortion elements in $Diff^\infty(R/Z)$

Artur Avila|ArXiv.org|Aug 18, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 7

一句话总结

该论文证明了圆周上每个性质为迭代趋于恒等映射的光滑微分同胚（即递归的）都是群 $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 中的扭曲元素，意味着其迭代可表示为有限个生成元的短复合。关键结果通过共轭构造与旋转数理论，解决了弗兰克斯与汉德尔提出的问题，表明在光滑范畴中，无理旋转是扭曲元素。

ABSTRACT

We consider the group of smooth diffeomorphisms of the circle. We show that any recurrent $f$ (in the sense that $\{f^n\}_{n \in Z}$ is not discrete) is in fact a distortion element (in the sense that its iterates can be written as short compositions involving finitely many smooth diffeomorphisms). Thus rotations are distortion elements.

研究动机与目标

• 解决弗兰克斯与汉德尔关于无理旋转是否为 $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 中扭曲元素的公开问题。
• 建立在 $C^\infty$ 拓扑下递归性蕴含群论意义下扭曲性的结论。
• 利用换位子与紧支集微分同胚，构造接近恒等映射的元素的短群词表达式。
• 将扭曲理论推广至高正则性微分同胚群，特别是具有无理旋转数的元素。
• 提供一个可应用于高维微分同胚群的框架，但不适用于保体积或辛情形。

提出的方法

• 使用有限生成子群上的度量 $d_S$ 定义扭曲性，要求 $d_S(f^n, \mathrm{id}) = o(n)$。
• 构造满足 $\epsilon_n \to 0$ 与 $k_n \to \infty$ 的序列，使得满足 $d(h_n, \mathrm{id}) < \epsilon_n$ 的元素 $h_n$ 满足 $d_S(h_n, \mathrm{id}) \leq k_n$。
• 通过固定有限组生成元，将接近恒等的元素实现为在重叠区间上支集的微分同胚的换位子乘积。
• 应用赫尔曼-约科兹关于旋转数的理论，特别是对代数数型旋转数存在 $C^\infty$ 共轭到旋转的结论。
• 使用具有负导数的 $C^\infty$ 一维族微分同胚 $\gamma_t$ 来扰动恒等映射，生成具有代数数型旋转数的元素。
• 构造一维族微分同胚 $h_t = [R_{1/2}f_tR_{1/2}, R_{1/2}g_tR_{1/2}][f_t,g_t]$，当 $t>0$ 时具有正导数与非平凡旋转数。

实验结果

研究问题

• RQ1 无理旋转是否为 $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 中的扭曲元素？
• RQ2 每个递归的 $C^\infty$ 圆周微分同胚是否都是扭曲元素？
• RQ3 能否将任意接近恒等的元素表示为有限生成子群内换位子的短乘积？
• RQ4 具有无理旋转数的光滑圆周微分同胚的扭曲函数增长速率如何？
• RQ5 换位子分解方法在多维流形上可扩展到何种程度？

主要发现

• 任何递归的 $f \in \mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 都是扭曲元素，从而在光滑范畴中正面解决了弗兰克斯与汉德尔的问题。
• 存在满足 $\epsilon_n \to 0$ 与 $k_n \to \infty$ 的序列，使得对任意满足 $d(h_n, \mathrm{id}) < \epsilon_n$ 的 $h_n$，在某个有限生成子群 $G$ 及其生成集 $S$ 下，有 $d_S(h_n, \mathrm{id}) \leq k_n$。
• 在 $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 中，任意可数个递归元素可同时在单个有限生成子群中成为扭曲元素。
• 该构造确保对任意函数 $r: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$，每个递归元素均可实现为 $r$-任意扭曲，即存在 $m \geq r(n)$ 且对无穷多个 $n$，有 $d_S(f_i^m, \mathrm{id}) \leq n$。
• 该方法依赖于换位子分解以及赫尔曼-约科兹理论中关于代数数型旋转数存在 $C^\infty$ 共轭到旋转的结论。
• 该方法不适用于实解析微分同胚，因为在该范畴中问题仍悬而未决，原因在于更强的代数刚性。