[论文解读] Distortion maps for genus two curves

Steven D. Galbraith⋆, Jordi Pujolàs+2 more|ArXiv.org|Nov 15, 2006

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 18被引用 14

一句话总结

本文证明了超奇异双亏格2超椭圆曲线的扭曲映射始终存在，并利用从弗罗贝尼乌斯映射和自同构导出的自同态给出了显式构造。研究表明，对于嵌入度为4、5、6和12的此类曲线，一个有限的自同态集合（包括弗罗贝尼乌斯映射和自同构）足以生成任意一对r-挠除子的扭曲映射，从而实现高效的配对基密码学。

ABSTRACT

Distortion maps are a useful tool for pairing based cryptography. Compared with elliptic curves, the case of hyperelliptic curves of genus g > 1 is more complicated since the full torsion subgroup has rank 2g. In this paper we prove that distortion maps always exist for supersingular curves of genus g>1 and we construct distortion maps in genus 2 (for embedding degrees 4,5,6 and 12).

研究动机与目标

• 建立超奇异双亏格2超椭圆曲线扭曲映射的存在性，这对配对基密码学至关重要。
• 为这类曲线上任意一对r-挠除子类构造显式、可高效计算的自同态，使其作为扭曲映射。
• 在合理假设下，证明一个有限的自同态集合（包括弗罗贝尼乌斯映射和自同构）足以生成所有配对所需的扭曲映射。
• 通过解决超奇异双亏格2情况下的扭曲映射问题，将配对基密码系统的适用范围扩展到高亏格曲线。

提出的方法

• 作者分析了有限域上双亏格曲线的雅可比簇的自同态代数，重点关注小嵌入度的超奇异曲线。
• 他们利用弗罗贝尼乌斯映射π和自同构στ、σθ、σξ构造出自同态基，证明这些生成了一个16维的ℚ-向量空间，同构于End⁰(Jac(C))。
• 通过π、στ、σθ和σξ之间的群论与代数关系，证明了F ⊕ στF ⊕ σξF ⊕ σθF的直和成立，从而确认了自同态代数的完整维数。
• 他们证明任意一对r-挠除子可通过这些自同态的ℚ-线性组合构造扭曲映射；在分母互素的假设下，该映射可缩放为ℤ[π, στ, σθ]中的整数自同态。
• 通过嵌入度为4、5、6和12的显式例子验证了该构造，表明这些自同态张成完整的自同态代数，并满足所需的非退化条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 超奇异双亏格2超椭圆曲线的所有r-挠除子类对是否存在扭曲映射？
• RQ2 一个有限且可高效计算的自同态集合是否可作为所有此类对的扭曲映射？
• RQ3 小嵌入度的超奇异双亏格2曲线的自同态代数End⁰(Jac(C))的结构是什么？
• RQ4 在何种条件下，自同态的ℚ-线性组合可缩放为一个作用有效的扭曲映射的整数自同态？

主要发现

• 超奇异双亏格2曲线的扭曲映射始终存在，解决了高亏格曲线配对基密码学中的一个关键挑战。
• 所研究曲线的自同态代数End⁰(Jac(C))在ℚ上是16维的，由弗罗贝尼乌斯映射π和自同构στ、σθ、σξ生成。
• 集合{π, στ, σθ}生成了足以作为曲线上任意一对r-挠除子的扭曲映射的足够自同态集合。
• 对于嵌入度为4、5、6和12的曲线，通过这些自同态提供了扭曲映射的显式构造。
• 该构造在假设中所用ℚ-线性组合分母的最小公倍数与r互素的条件下成立，该假设在所考虑的例子中已被证明成立。