[论文解读] Distributed Algorithms for Consensus and Coordination in the Presence of Packet-Dropping Communication Links - Part I: Statistical Moments Analysis Approach

Alejandro D. Domínguez-García, Christoforos N. Hadjicostis+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Distributed Control Multi-Agent Systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在通信链路不可靠、存在丢包的多智能体系统中实现平均一致性（average consensus）的鲁棒分布式算法。通过引入辅助变量并分析其一阶与二阶统计矩，该方法即使在非对称、时变且不可靠的通信条件下，也能确保几乎必然收敛至平均一致性，收敛性通过Borel-Cantelli引理与矩分析得到证明。

ABSTRACT

This two-part paper discusses robustification methodologies for linear-iterative distributed algorithms for consensus and coordination problems in multicomponent systems, in which unreliable communication links may drop packets. We consider a setup where communication links between components can be asymmetric (i.e., component j might be able to send information to component i, but not necessarily vice-versa), so that the information exchange between components in the system is in general described by a directed graph that is assumed to be strongly connected. In the absence of communication link failures, each component i maintains two auxiliary variables and updates each of their values to be a linear combination of their corresponding previous values and the corresponding previous values of neighboring components (i.e., components that send information to node i). By appropriately initializing these two (decoupled) iterations, the system components can asymptotically calculate variables of interest in a distributed fashion; in particular, the average of the initial conditions can be calculated as a function that involves the ratio of these two auxiliary variables. The focus of this paper to robustify this double-iteration algorithm against communication link failures. We achieve this by modifying the double-iteration algorithm (by introducing some additional auxiliary variables) and prove that the modified double-iteration converges almost surely to average consensus. In the first part of the paper, we study the first and second moments of the two iterations, and use them to establish convergence, and illustrate the performance of the algorithm with several numerical examples. In the second part, in order to establish the convergence of the algorithm, we use coefficients of ergodicity commonly used in analyzing inhomogeneous Markov chains.

研究动机与目标

• 解决在通信链路可能不可预测地丢包的多智能体系统中实现平均一致性的挑战。
• 设计一种分布式算法，即使在通信链路不可靠、非对称且时变的情况下，也能保持对初始值平均值的收敛。
• 在有向强连通网络中确保鲁棒性，此类网络中传统一致性算法可能因链路失效而失败。
• 利用统计矩分析与概率工具（如Borel-Cantelli引理）建立理论收敛保证。
• 为第二部分提供基础，第二部分将使用非时齐马尔可夫链的遍历性系数进一步验证收敛性。

提出的方法

• 提出一种双迭代算法，每个节点引入两个辅助变量，每个变量作为自身与邻居前一时刻值的加权线性组合进行更新。
• 通过引入辅助变量改进标准一致性算法，以处理丢包问题，确保两个辅助变量的比值收敛至初始值的平均值。
• 分析辅助变量的一阶与二阶统计矩，以在随机丢包条件下建立收敛性质。
• 利用Borel-Cantelli引理证明：对每个节点，其第二个辅助变量 $ z_j[k] $ 以概率1无限次超过正阈值 $ C $。
• 证明比值 $ y_j[k]/z_j[k] $ 几乎必然收敛至 $ 1/ar{ u} $，其中 $ ar{ u} $ 为初始值的平均值。
• 基于节点的入度与最大出度，采用概率论证方法，限制网络中质量传递的概率，确保系统持续活跃。

实验结果

研究问题

• RQ1 当通信链路随机且非对称地丢包时，分布式一致性算法能否保持对初始值平均值的收敛？
• RQ2 如何利用统计矩分析证明在通信不可靠情况下的几乎必然收敛？
• RQ3 在双迭代算法中，何种条件可确保辅助变量无限次远离零，从而支持基于比值的平均值估计？
• RQ4 Borel-Cantelli引理能否应用于证明在丢包条件下，辅助变量中的关键阈值被无限次超越？
• RQ5 底层有向图的结构（强连通、有界出度）如何影响该鲁棒化算法的收敛行为？

主要发现

• 在强连通有向图的假设下，改进后的双迭代算法即使在通信链路丢包时，也能确保几乎必然收敛至平均一致性。
• 对每个节点 $ j $，事件 $ z_j[k] \to C $ 以概率1无限次发生，其中 $ C = \frac{n}{(n+m)(\text{D}_{\text{max}}^{+})^{n-1}} $，从而确保比值 $ y_j[k]/z_j[k] $ 可无限次计算。
• 比值 $ y_j[t_n]/z_j[t_n] $ 几乎必然收敛至 $ 1/\bar{\nu} $，其中 $ \bar{\nu} $ 为初始值的平均值，当 $ t_n \to \infty $ 时，证明了对目标一致值的收敛。
• 分析表明 $ |\bar{\nu} y_j[k] - z_j[k]| \to 0 $ 几乎必然成立，这意味着比值估计的误差随时间趋于零。
• 在 $ n $ 步内，任意节点向任意其他节点成功传递质量的概率下界为 $ q^n $，其中 $ q $ 依赖于最小入度与网络结构。
• 该收敛结果在一般条件下成立：有向图强连通、出度有界，且链路丢包为独立同分布。