[论文解读] Distributed Algorithms that Solve Boolean Equation Systems

Hongsheng Qi, Bo Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2020

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 34被引用 1

一句话总结

本文提出了一种分布式算法，用于在每个节点持有私有方程的网络中求解布尔方程组。通过将每个方程提升为布尔向量基上的线性形式，节点协作求解一个分布式线性系统，并使用随机初始化值以高概率恢复精确解集，从而实现完全的分布式验证和解的计算。

ABSTRACT

In this paper, we propose distributed algorithms that solve a system of Boolean equations over a network, where each node in the network possesses only one Boolean equation from the system. The Boolean equation assigned at any particular node is a private equation known to this node only, and the nodes aim to compute the exact set of solutions to the system without exchanging their local equations. We show that each private Boolean equation can be locally lifted to a linear algebraic equation under a basis of Boolean vectors, leading to a network linear equation that is distributedly solvable. A number of exact or approximate solutions to the induced linear equation are then computed at each node from different initial values. The solutions to the original Boolean equations are eventually computed locally via a Boolean vector search algorithm. We prove that given solvable Boolean equations, when the initial values of the nodes for the distributed linear equation solving step are i.i.d selected according to a uniform distribution in a high-dimensional cube, our algorithms return the exact solution set of the Boolean equations at each node with high probability. Furthermore, we present an algorithm for distributed verification of the satisfiability of Boolean equations, and prove its correctness. The proposed algorithms put together become a complete framework for distributedly solving Boolean equations: verifying satisfiability and computing the solution set whenever satisfiable.

研究动机与目标

• 在不泄露私有方程的前提下，实现布尔方程组精确解集的分布式计算。
• 设计一种框架，使节点能够协作求解由本地布尔方程导出的网络化线性方程。
• 通过一种分布式验证算法确保可满足性的正确性和完备性。
• 证明在高维空间中使用独立同分布的均匀初始值，可以实现高概率的精确解恢复。
• 建立一个完整的系统，用于分布式可满足性检查和解集计算。

提出的方法

• 每个节点将其私有的布尔方程提升为布尔向量基上的线性方程，从而将系统转换为分布式线性方程。
• 节点使用迭代方法在高维立方体中以独立同分布的均匀值初始化，迭代求解分布式线性方程。
• 将线性系统的解用作本地布尔向量搜索算法的输入，以恢复原始布尔方程的精确解。
• 通过一个独立的分布式验证算法检查布尔系统的可满足性，确保正确性。
• 该框架结合了线性系统求解和布尔搜索，以实现完整的分布式解计算。
• 理论分析依赖于在高维均匀初始化下的概率收敛性，以确保高概率正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个分布式系统能否在不共享私有方程的情况下计算布尔方程组的精确解集？
• RQ2 在何种条件下，分布式线性系统求解能够以高概率得到精确的布尔解？
• RQ3 如何在不依赖全局知识的情况下验证分布式布尔方程系统的可满足性？
• RQ4 何种初始化策略能够实现在分布式线性求解中对完整解集的高概率恢复？
• RQ5 能否构建一个完整的框架，将可满足性验证与解计算在分布式环境中结合？

主要发现

• 当初始值在高维立方体中为独立同分布的均匀分布时，所提方法能够以高概率实现可解布尔方程组的精确解集恢复。
• 将布尔方程转化为布尔向量基上的线性方程，使得系统具备分布式可解性。
• 分布式验证算法能够在不交换全局方程的情况下正确判断系统的可满足性。
• 该框架是完备的，支持在分布式环境中同时进行可满足性检查和完整解集计算。
• 理论分析证实，随着初始值空间维度的增加，精确解恢复的概率趋近于1。
• 该方法确保每个节点在本地计算完整的解集，而无需共享其私有方程。