[论文解读] Distributed Approximation of Maximum Independent Set and Maximum Matching

Reuven Bar-Yehuda, Keren Censor-Hillel+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

本文提出了在 CONGEST 模型中高效计算最大独立集（MaxIS）和最大权匹配（MWM）的分布式算法。它提出了一种确定性 Δ-近似算法，可在 O(Δ + log* n) 轮内完成 MaxIS 的计算，利用图着色技术；并提出了一种随机化 O(log Δ / log log Δ)-轮算法，用于 (2+ε)-近似 MWM，实现了关于 Δ 依赖性的最优轮复杂度。

ABSTRACT

We present a simple distributed $Δ$-approximation algorithm for maximum weight independent set (MaxIS) in the $\mathsf{CONGEST}$ model which completes in $O( exttt{MIS}(G)\cdot \log W)$ rounds, where $Δ$ is the maximum degree, $ exttt{MIS}(G)$ is the number of rounds needed to compute a maximal independent set (MIS) on $G$, and $W$ is the maximum weight of a node. %Whether our algorithm is randomized or deterministic depends on the exttt{MIS} algorithm used as a black-box. Plugging in the best known algorithm for MIS gives a randomized solution in $O(\log n \log W)$ rounds, where $n$ is the number of nodes. We also present a deterministic $O(Δ+\log^* n)$-round algorithm based on coloring. We then show how to use our MaxIS approximation algorithms to compute a $2$-approximation for maximum weight matching without incurring any additional round penalty in the $\mathsf{CONGEST}$ model. We use a known reduction for simulating algorithms on the line graph while incurring congestion, but we show our algorithm is part of a broad family of \emph{local aggregation algorithms} for which we describe a mechanism that allows the simulation to run in the $\mathsf{CONGEST}$ model without an additional overhead. Next, we show that for maximum weight matching, relaxing the approximation factor to ($2+\varepsilon$) allows us to devise a distributed algorithm requiring $O(\frac{\log Δ}{\log\logΔ})$ rounds for any constant $\varepsilon>0$. For the unweighted case, we can even obtain a $(1+\varepsilon)$-approximation in this number of rounds. These algorithms are the first to achieve the provably optimal round complexity with respect to dependency on $Δ$.

研究动机与目标

• 设计用于在大规模网络中近似计算最大独立集和最大权匹配的快速分布式算法。
• 克服在 CONGEST 模型中对线图算法进行模拟时带来的额外拥塞开销的挑战。
• 在加权匹配近似问题中，实现关于最大度 Δ 的可证明最优轮复杂度。
• 提供具有强近似保证和低通信成本的确定性和随机化解决方案。

提出的方法

• 通过迭代计算最大独立集（MIS）并并行执行权重缩减，将局部比率技术适配到分布式环境。
• 根据权重将节点划分为 log W 层，确保每次迭代均减少最顶层的权重，从而实现 O(MIS(G) · log W) 轮复杂度。
• 利用 (Δ+1)-着色技术，确定性地模拟基于 MIS 的权重缩减，实现 O(Δ + log* n) 轮复杂度，且不依赖随机化 MIS 算法。
• 提出一种新颖的线图算法模拟机制，避免了在 CONGEST 模型中通常存在的 O(Δ) 拥塞开销。
• 应用随机化二分图变换和迭代匹配技术，将结果从二分图推广到一般无权图。
• 使用切尔诺夫不等式进行概率分析，证明在随机节点划分和提议策略下，近似保证以高概率成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 CONGEST 模型中以低轮复杂度实现最大权独立集的分布式 Δ-近似？
• RQ2 如何在不引入乘法 O(Δ) 开销的前提下，实现 CONGEST 模型中线图模拟的高效模拟？
• RQ3 在 CONGEST 模型中，(2+ε)-近似最大权匹配的最优轮复杂度是多少？
• RQ4 能否在 O(log Δ / log log Δ) 轮内实现无权匹配的 (1+ε)-近似？
• RQ5 随机化节点划分对在一般图中实现高精度匹配近似的影响是什么？

主要发现

• 一种用于最大权独立集的确定性 Δ-近似算法，通过图着色技术在 O(Δ + log* n) 轮内完成。
• 一种随机化 Δ-近似算法用于 MaxIS，可在 O(MIS(G) · log W) 轮内完成，且实际中 MISE(G) 有界于 O(log n)。
• 通过高效模拟线图算法，该算法在不增加轮数开销的情况下实现了最大权匹配的 2-近似。
• 对于 (2+ε)-近似最大权匹配，该算法在 O(log Δ / log log Δ) 轮内运行，与理论下界相比仅相差对数因子。
• 无权匹配的 (1+ε)-近似可在 O(log Δ / log log Δ) 轮内实现，使其成为首个在 Δ 依赖性上具有可证明最优轮复杂度的算法。
• 线图算法的模拟机制避免了 O(Δ) 拥塞开销，从而实现了高效的分布式匹配近似。