[论文解读] Distributed Averaging Problems on Signed Networks with Directed Topologies

Mingjun Du, Deyuan Meng|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2019

Distributed Control Multi-Agent Systems被引用 3

一句话总结

本文提出两种新颖的分布式平均协议，用于具有有向拓扑结构的符号网络，基于由诱导无符号有向图和镜像符号图构建的改进拉普拉斯势函数。通过李雅普诺夫稳定性分析，证明了符号平均一致性可达成当且仅当符号有向图是结构平衡的，无论权重是否平衡。

ABSTRACT

This paper aims at addressing distributed averaging problems for signed networks in the presence of general directed topologies that are represented by signed digraphs. A new class of improved Laplacian potential functions is proposed by presenting two notions of any signed digraph: induced unsigned digraph and mirror (undirected) signed graph, based on which two distributed averaging protocols are designed using the nearest neighbor rules. It is shown that with any of the designed protocols, signed-average consensus (respectively, state stability) can be achieved if and only if the associated signed digraph of signed network is structurally balanced (respectively, unbalanced), regardless of whether weight balance is satisfied or not. Additionally, the convergence analysis of signed networks can be implemented via the Lyapunov stability approach, which benefits from bridging the relationship between convergence behaviors of directed signed networks and properties of improved Laplacian potential functions. Illustrative examples are presented to demonstrate the validity of our theoretical results for distributed averaging of directed signed networks.

研究动机与目标

• 解决具有通用有向拓扑结构的符号网络中的分布式平均问题，其结构不限于无向或权重平衡结构。
• 通过为符号有向图量身定制的新拉普拉斯势函数，克服先前研究的局限性。
• 建立仅依赖于结构平衡性的符号平均一致性收敛准则，而非权重平衡性。
• 提供基于李雅普诺夫的收敛性分析框架，将网络拓扑特性与系统稳定性联系起来。

提出的方法

• 引入从符号有向图导出的诱导无符号有向图的概念，以分析其底层连通性结构。
• 将镜像（无向）符号图定义为一种对偶表示，以捕捉异构符号网络中的对称关系。
• 基于诱导图和镜像图的结构特性，设计两种基于最近邻规则的分布式平均协议。
• 构建能反映网络符号特性与有向拓扑结构的改进拉普拉斯势函数。
• 应用李雅普诺夫稳定性理论分析收敛性，将势函数的衰减与一致性行为关联。
• 以符号有向图的拓扑特性——特别是结构平衡或不平衡性——作为系统行为的关键决定因素。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有向符号网络中，何种拓扑条件可实现符号平均一致性？
• RQ2 如何重新定义拉普拉斯势函数，以有效分析符号有向图中的收敛性？
• RQ3 在有向符号网络中，权重平衡是否仍是达成一致性的必要条件？
• RQ4 能否通过改进的势函数，利用李雅普诺夫方法分析有向符号网络的收敛行为？
• RQ5 结构平衡在决定是否达成一致性或状态稳定性方面起什么作用？

主要发现

• 符号平均一致性可达成当且仅当符号有向图是结构平衡的，无论权重是否平衡。
• 状态稳定性可达成当且仅当符号有向图是结构不平衡的，证实了系统行为的二分性。
• 所提出的协议在无需权重平衡的通用有向拓扑下仍能确保收敛。
• 改进的拉普拉斯势函数使有向符号网络的严格李雅普诺夫收敛性分析成为可能。
• 通过示意性实例验证了理论结果，展示了正确的共识与稳定性结果。
• 该框架成功弥合了有向符号网络中拓扑结构与动态行为之间的鸿沟。